Determine de forma que a função
seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um valor de diferente de zero que faça com que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Matemáticamente, isso é escrito como:
No nosso caso, queremos que seja contínua em . Ou seja:

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Para , a função é e para , é . Nosso objetivo é garantir que, quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, os valores se igualem.

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Podemos simplificar isso usando a regra limite de que . Vamos fazer uma substituição: seja , então quando , . A expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de usando a definição da função para :

Passo 6

Para que a função seja contínua em , os dois resultados que obtivemos devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
As soluções são ou . Mas o enunciado pede que , então descartamos .

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: , .
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