Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um valor de diferente de zero que faça com que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Matemáticamente, isso é escrito como:
No nosso caso, queremos que seja contínua em . Ou seja:
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Para , a função é e para , é . Nosso objetivo é garantir que, quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, os valores se igualem.
Passo 4
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Podemos simplificar isso usando a regra limite de que . Vamos fazer uma substituição: seja , então quando , . A expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de usando a definição da função para :
Passo 6
Para que a função seja contínua em , os dois resultados que obtivemos devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
As soluções são ou . Mas o enunciado pede que , então descartamos .