Determine
de forma que a função
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um valor de
diferente de zero que faça com que a função
seja contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Matemáticamente, isso é escrito como:
No nosso caso, queremos que
seja contínua em
. Ou seja:
Passo 3
Vamos analisar a função
dada:
Para
, a função é
e para
, é
. Nosso objetivo é garantir que, quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, os valores se igualem.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Podemos simplificar isso usando a regra limite de que
. Vamos fazer uma substituição: seja
, então quando
,
. A expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de
usando a definição da função para
:
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, os dois resultados que obtivemos devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
As soluções são
ou
. Mas o enunciado pede que
, então descartamos
.
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.