Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema nos ajuda a garantir a existência de pelo menos uma raiz em um intervalo se a função mudar de sinal nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Para :
Passo 3
Agora, observamos os sinais dos valores que calculamos:
(negativo)
(positivo)
A função mudou de negativo para positivo ao passar de para .
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua tem valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre esses dois onde a função é zero. Ou seja, como é negativo e é positivo, existe pelo menos uma raiz no intervalo .
Resposta
A função possui pelo menos uma raiz no intervalo conforme demonstrado pelo Teorema do Valor Intermediário.