Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema nos ajuda a garantir a existência de pelo menos uma raiz em um intervalo se a função mudar de sinal nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, observamos os sinais dos valores que calculamos:
-
(negativo) -
(positivo)
A função mudou de negativo para positivo ao passar de
para
.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua tem valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre esses dois onde a função é zero. Ou seja, como
é negativo e
é positivo, existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
conforme demonstrado pelo Teorema do Valor Intermediário.