Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema nos ajuda a garantir a existência de pelo menos uma raiz em um intervalo se a função mudar de sinal nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, observamos os sinais dos valores que calculamos:
  • (negativo)
  • (positivo)
A função mudou de negativo para positivo ao passar de para .

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua tem valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre esses dois onde a função é zero. Ou seja, como é negativo e é positivo, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Resposta

A função possui pelo menos uma raiz no intervalo conforme demonstrado pelo Teorema do Valor Intermediário.

Exercícios relacionados

Determine de forma que a função
seja contínua em .
Verifique se as seguintes funções são contínuas:
Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: .
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções: