Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que essa função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso significa que existe um valor de dentro desse intervalo onde .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função cosseno é contínua para todo , e multiplicar por e adicionar 1 também preserva a continuidade. Portanto, é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo.
Para :
Sabemos que , então:
Para :
Sabemos que , então:

Passo 4

Observamos que e . A função muda de sinal no intervalo , passando de positivo para negativo.
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, como é contínua e muda de sinal nesse intervalo, deve existir pelo menos um ponto entre e onde .

Resposta

A função possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados: , .
Determine de forma que a função
seja contínua em .
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções: