Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que essa função tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso significa que existe um valor de
dentro desse intervalo onde
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. A função cosseno é contínua para todo
, e multiplicar por
e adicionar 1 também preserva a continuidade. Portanto,
é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo.
Para
:
Sabemos que
, então:
Para
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Observamos que
e
. A função muda de sinal no intervalo
, passando de positivo para negativo.
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal nesse intervalo, deve existir pelo menos um ponto
entre
e
onde
.
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
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Mostre que as funções a seguir possuem ao menos uma raiz nos intervalos dados:
,
.
Determine
de forma que a função
seja contínua em
.
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(05 pontos cada item) Calcule as derivadas das seguintes funções: