(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicoes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.
R: c1=-1, c2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar os valores de e que fazem com que e . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e condições iniciais. Para resolver, vamos precisar calcular e a derivada , depois substituir os valores iniciais para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Substituímos na função:
Simplificando:
Sabemos que , então:
çã

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada . Derivando cada termo da função:
Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, substituímos na derivada para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Podemos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

e .

Exercícios relacionados

Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de r(t) e o gráfico da reta tangente em t0 na mesma tela. r(t) = 3 sen(t) i + 4 cos(t) j ; t0 = pi/4
& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(i)
& g(x)=0, c=1 & f(x)=l 4 x, 0 <= x <= 14 -4(x-12), 14 <= x <= 34 4(x-1), 34 <= x <= 1
Transformar as equações polares para cartesianas:
c) r^2 cos(2 theta) = 2
& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(ii)
& g(x)=2, c=1pi & f(x)=l 0,0 <= x <= 13 130(x-13), 13 <= x <= 23 130(1-x), 23 <= x <= 1
Apresente um gráfico do movimento variando com tempo para cada um dos casos, considerando um número apropriado de termos na série.