(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicoes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.
R: c1=-1, c2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar os valores de e que fazem com que e . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e condições iniciais. Para resolver, vamos precisar calcular e a derivada , depois substituir os valores iniciais para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Substituímos na função:
Simplificando:
Sabemos que , então:
çã

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada . Derivando cada termo da função:
Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, substituímos na derivada para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Podemos resolver esse sistema subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

e .

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