Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de
e o gráfico da reta tangente em
na mesma tela.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é usar um recurso gráfico para desenhar o gráfico da função vetorial e também a reta tangente a essa curva no ponto onde
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais e como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada: . Essa função descreve uma curva no plano, com
e
sendo os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Para desenhar essa curva, precisamos conhecer os pontos que ela passa conforme
varia.
Passo 3
Para desenhar a reta tangente no ponto
, primeiro precisamos encontrar as coordenadas desse ponto na curva. Vamos calcular
substituindo
por
na função
:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
para obter a direção da reta tangente. A derivada de
em relação a
é:
Essa derivada nos dá o vetor velocidade, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.
Passo 5
Vamos calcular
substituindo
por
:
Esse é o vetor que representa a direção da reta tangente no ponto
.
Passo 6
Com o ponto de tangência
e o vetor diretor da reta tangente
, podemos montar a equação paramétrica da reta tangente:
Onde
é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 7
Agora que temos as equações da curva
e da reta tangente, podemos usar um recurso gráfico, como o GeoGebra ou outro software de plotagem, para desenhar ambas na mesma tela. Basta inserir as equações paramétricas da curva e da reta tangente no software escolhido e ajustar a visualização para observar tanto a curva quanto a tangente no ponto
.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos desenhar a curva e a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a
na mesma tela usando um recurso gráfico.