Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de r(t) e o gráfico da reta tangente em t0 na mesma tela. r(t) = 3 sen(t) i + 4 cos(t) j ; t0 = pi/4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é usar um recurso gráfico para desenhar o gráfico da função vetorial e também a reta tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais e como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada: . Essa função descreve uma curva no plano, com e i sendo os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Para desenhar essa curva, precisamos conhecer os pontos que ela passa conforme j varia.

Passo 3

Para desenhar a reta tangente no ponto , primeiro precisamos encontrar as coordenadas desse ponto na curva. Vamos calcular substituindo t por pi/4 na função r(t):
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) para obter a direção da reta tangente. A derivada de r(t) em relação a t é:
Essa derivada nos dá o vetor velocidade, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.

Passo 5

Vamos calcular substituindo t por pi/4:
Esse é o vetor que representa a direção da reta tangente no ponto .

Passo 6

Com o ponto de tangência e o vetor diretor da reta tangente , podemos montar a equação paramétrica da reta tangente:
Onde s é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 7

Agora que temos as equações da curva r(t) e da reta tangente, podemos usar um recurso gráfico, como o GeoGebra ou outro software de plotagem, para desenhar ambas na mesma tela. Basta inserir as equações paramétricas da curva e da reta tangente no software escolhido e ajustar a visualização para observar tanto a curva quanto a tangente no ponto .

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos desenhar a curva e a reta tangente a essa curva no ponto correspondente a na mesma tela usando um recurso gráfico.

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& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(i)
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rr partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=1, 0
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c) r^2 cos(2 theta) = 2