& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(ii)
& g(x)=2, c=1pi & f(x)=l 0,0 <= x <= 13 130(x-13), 13 <= x <= 23 130(1-x), 23 <= x <= 1
Apresente um gráfico do movimento variando com tempo para cada um dos casos, considerando um número apropriado de termos na série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que você me mandou! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve o movimento de uma onda numa corda de comprimento . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de Fourier. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender a equação da onda e suas condições de contorno.
  • Saber como expandir as condições iniciais e em séries de Fourier.
  • Montar a solução geral usando essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da onda dada:
partial^2 u(x, t)partial t^2 = c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 0 < x < L, t > 0
Aqui, u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 representa a posição da corda no ponto u(x, 0) = f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0 = g(x), 0 <= x <= L e no tempo . A constante é a velocidade da onda.
As condições de contorno são:
Isso significa que as extremidades da corda estão fixas.
As condições iniciais são:
Estas representam a forma inicial da corda e sua velocidade inicial.

Passo 3

Agora, vamos para o caso específico que a questão pede:
  • f(x) = 0, & 0 <= x <= 13 130(x - 13), & 13 <= x <= 23 130(1 - x), & 23 <= x <= 1
  • é uma função definida por partes:
Considerando que (já que vai até 1).

Passo 4

Vamos resolver a equação da onda usando separação de variáveis e séries de Fourier. A solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t) ] sin(npi x) pode ser escrita como uma série de senos, já que as condições de contorno são zero nas extremidades:
Aqui, .

Passo 5

Precisamos encontrar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty An sin(npi x) e An = 2 integral0^1 f(x) sin(npi x) , dx usando as condições iniciais.
Primeiro, usando :
Para achar , multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 1:

Passo 6

Segundo, usando g(x) = sumn=1^infty Bn omegan sin(npi x) :
2 = sumn=1^infty Bn omegan sin(npi x)
Como Bn = 2omegan cdot 2 integral0^1 sin(npi x) , dx , que é uma constante, precisamos expandir isso em uma série de senos:
Para encontrar , novamente multiplicamos por e integramos de 0 a 1:

Passo 7

Vamos calcular An = 2 integral0^1 f(x) sin(npi x) , dx e An = 2 ( integral0^13 0 cdot sin(npi x) , dx + integral13^23 130(x - 13) sin(npi x) , dx + integral23^1 130(1 - x) sin(npi x) , dx ) :
Primeiro, para Bn = 2n cdot 2 integral0^1 sin(npi x) , dx = 4n [ -cos(npi x)npi ]0^1 = 4n^2pi [ (-1)^n - 1 ] :
Como é uma função por partes, devemos dividir a integral:
Essas integrais podem ser calculadas usando integração por partes ou métodos numéricos.
Para :
Sabemos que .
Então,

Passo 8

Agora, nossa solução fica:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n t) + 4n^2pi ( (-1)^n - 1 ) sin(n t) ] sin(npi x)
Para obter o gráfico do movimento, vamos truncar a série em um número finito de termos, digamos .

Passo 9

Para plotar o gráfico, podemos usar uma ferramenta como Python com a biblioteca Matplotlib. Aqui está um exemplo de código que faz isso:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo parâmetros
N = 10  # Número de termos na série
L = 1
c = 1/np.pi
x = np.linspace(0, L, 500)
t_values = [0, 0.5, 1, 1.5, 2]  # Tempos para plotar

# Função f(x)
def f(x):
    if 0 <= x <= 1/3:
        return 0
    elif 1/3 < x <= 2/3:
        return (1/30)*(x - 1/3)
    elif 2/3 < x <=1:
        return (1/30)*(1 - x)
    else:
        return 0

# Expansão em série de Fourier para A_n
A = []
for n in range(1, N+1):
    integral = 0
    for xi, yi in zip(x, [f(xi) for xi in x]):
        integral += yi * np.sin(n * np.pi * xi) * (1/N)
    A_n = 2 * integral
    A.append(A_n)

# Cálculo dos coeficientes B_n
B = []
for n in range(1, N+1):
    B_n = (4/(n**2 * np.pi)) * ((-1)**n - 1)
    B.append(B_n)

# Construção da solução u(x, t)
def u(x, t):
    result = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, N+1):
        omega_n = n
        result += A[n-1] * np.cos(omega_n * t) + B[n-1] * np.sin(omega_n * t)
        result *= np.sin(n * np.pi * x)
    return result

# Plotando para diferentes tempos
for t in t_values:
    plt.plot(x, u(x, t), label=f't={t}')

plt.title('Movimento da Corda ao Longo do Tempo')
plt.xlabel('Posição x')
plt.ylabel('Deslocamento u(x, t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos resolver a equação da onda com as condições iniciais e de contorno dadas. O gráfico resultante mostrará como a corda se move ao longo do tempo para diferentes instantes , utilizando os primeiros 10 termos da série de Fourier para uma aproximação adequada.

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