& g(x)=2, c=1pi & f(x)=l 0,0 <= x <= 13 130(x-13), 13 <= x <= 23 130(1-x), 23 <= x <= 1
Apresente um gráfico do movimento variando com tempo para cada um dos casos, considerando um número apropriado de termos na série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da onda que você me mandou! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve o movimento de uma onda numa corda de comprimento . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de Fourier. Para resolver, vamos precisar:
Entender a equação da onda e suas condições de contorno.
Saber como expandir as condições iniciais e em séries de Fourier.
Montar a solução geral usando essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação da onda dada:
partial^2 u(x, t)partial t^2 = c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 0 < x < L, t > 0
Aqui, u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 representa a posição da corda no ponto u(x, 0) = f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0 = g(x), 0 <= x <= L e no tempo . A constante é a velocidade da onda.
As condições de contorno são:
Isso significa que as extremidades da corda estão fixas.
As condições iniciais são:
Estas representam a forma inicial da corda e sua velocidade inicial.
Passo 3
Agora, vamos para o caso específico que a questão pede:
f(x) = 0, & 0 <= x <= 13 130(x - 13), & 13 <= x <= 23 130(1 - x), & 23 <= x <= 1
é uma função definida por partes:
Considerando que (já que vai até 1).
Passo 4
Vamos resolver a equação da onda usando separação de variáveis e séries de Fourier. A solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t) ] sin(npi x) pode ser escrita como uma série de senos, já que as condições de contorno são zero nas extremidades:
Aqui, .
Passo 5
Precisamos encontrar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty An sin(npi x) e An = 2 integral0^1 f(x) sin(npi x) , dx usando as condições iniciais.
Primeiro, usando :
Para achar , multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 1:
Para obter o gráfico do movimento, vamos truncar a série em um número finito de termos, digamos .
Passo 9
Para plotar o gráfico, podemos usar uma ferramenta como Python com a biblioteca Matplotlib. Aqui está um exemplo de código que faz isso:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Definindo parâmetros
N = 10# Número de termos na série
L = 1
c = 1/np.pi
x = np.linspace(0, L, 500)
t_values = [0, 0.5, 1, 1.5, 2] # Tempos para plotar# Função f(x)deff(x):
if0 <= x <= 1/3:
return0elif1/3 < x <= 2/3:
return (1/30)*(x - 1/3)
elif2/3 < x <=1:
return (1/30)*(1 - x)
else:
return0# Expansão em série de Fourier para A_n
A = []
for n inrange(1, N+1):
integral = 0for xi, yi inzip(x, [f(xi) for xi in x]):
integral += yi * np.sin(n * np.pi * xi) * (1/N)
A_n = 2 * integral
A.append(A_n)
# Cálculo dos coeficientes B_n
B = []
for n inrange(1, N+1):
B_n = (4/(n**2 * np.pi)) * ((-1)**n - 1)
B.append(B_n)
# Construção da solução u(x, t)defu(x, t):
result = np.zeros_like(x)
for n inrange(1, N+1):
omega_n = n
result += A[n-1] * np.cos(omega_n * t) + B[n-1] * np.sin(omega_n * t)
result *= np.sin(n * np.pi * x)
return result
# Plotando para diferentes temposfor t in t_values:
plt.plot(x, u(x, t), label=f't={t}')
plt.title('Movimento da Corda ao Longo do Tempo')
plt.xlabel('Posição x')
plt.ylabel('Deslocamento u(x, t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos resolver a equação da onda com as condições iniciais e de contorno dadas. O gráfico resultante mostrará como a corda se move ao longo do tempo para diferentes instantes , utilizando os primeiros 10 termos da série de Fourier para uma aproximação adequada.