Transformar as equações polares para cartesianas:
c) r^2 cos(2 theta) = 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação em coordenadas polares: . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas (x e y). Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas, além de usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas:
Além disso, sabemos que:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de x e y. Para isso, usamos a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
Substituindo e pelas expressões em x e y:
Então:

Passo 4

Agora substituímos na equação original:
Os se cancelam:

Resposta

A equação cartesiana é .

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(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicoes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.
R: c1=-1, c2=1
Use um recurso gráfico para gerar o gráfico de r(t) e o gráfico da reta tangente em t0 na mesma tela. r(t) = 3 sen(t) i + 4 cos(t) j ; t0 = pi/4
& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(ii)
& g(x)=2, c=1pi & f(x)=l 0,0 <= x <= 13 130(x-13), 13 <= x <= 23 130(1-x), 23 <= x <= 1
Apresente um gráfico do movimento variando com tempo para cada um dos casos, considerando um número apropriado de termos na série.
partial Tpartial t=alpha(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2), 00
com condições de contorno
& T(0, y, t)=T(a, y, t)=0, 00, & T(x, 0, t)=T(x, b, t)=0, 00,
e distribuição inicial de temperatura inicial
T(x, y, 0)=f(x, y), 0
(ii) Obter as soluções produto
Tm n(x, y, t)=Am n sen(m pi xa) sen(n pi yb) e^-alpha((m pia)^2+(n pib)^2)