& partial^2 u(x, t)partial t^2=c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 00 & u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x) e partial u(x, t)partial t|t=0=g(x), 0 <= x <= L
Considere os seguintes casos:
(i)
& g(x)=0, c=1 & f(x)=l 4 x, 0 <= x <= 14 -4(x-12), 14 <= x <= 34 4(x-1), 34 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a equação da onda, que é uma equação diferencial parcial, definida por:
partial^2 u(x, t)partial t^2 = c^2 partial^2 u(x, t)partial x^2, 0 < x < L, t > 0
Além disso, temos algumas condições de contorno e iniciais:
  • As extremidades da corda estão presas:
  • A posição inicial da corda é dada por uma função
  • A velocidade inicial da corda é dada por , que nesse caso é zero
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução dessa equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, como u(x, t) = X(x) T(t) , isso simplifica um pouco as coisas porque significa que a velocidade inicial da corda é zero. Agora, para resolver a equação da onda, vamos usar separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde a solução pode ser escrita como o produto de funções dependentes de e .
Assumimos uma solução da forma:
Onde é uma função apenas de e é uma função apenas de .

Passo 3

Substituindo X(x) d^2 T(t)dt^2 = c^2 T(t) d^2 X(x)dx^2 na equação da onda, temos:
1c^2 T(t) d^2 T(t)dt^2 = 1X(x) d^2 X(x)dx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por d^2 X(x)dx^2 + lambda X(x) = 0 :
d^2 T(t)dt^2 + c^2 lambda T(t) = 0
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Vamos resolver a equação de d^2 X(x)dx^2 + lambda X(x) = 0 com as condições de contorno X(x) = A sin(raizlambda x) + B cos(raizlambda x) , o que implica X(0) = B = 0 :
X(L) = A sin(raizlambda L) = 0
A solução geral dessa equação diferencial é:
lambdan = ( npiL )^2
Aplicando as condições de contorno:
  1. Em Xn(x) = An sin( npi xL ) :
  1. Em :
Para que isso seja verdade, precisamos que , onde é um número inteiro positivo. Portanto:
E a função fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para d^2 T(t)dt^2 + c^2 lambdan T(t) = 0 :
d^2 T(t)dt^2 + ( c npiL )^2 T(t) = 0
Substituindo Tn(t) = Cn cos( npi c tL ) + Dn sin( npi c tL ) :
A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Portanto, a solução para cada modo un(x, t) = [ Cn cos( npi c tL ) + Dn sin( npi c tL ) ] sin( npi xL ) é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ Cn cos( npi c tL ) + Dn sin( npi c tL ) ] sin( npi xL )
A solução geral é a soma de todos os modos:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^infty Cn sin( npi xL ) = f(x) e partial upartial t(x, 0) = sumn=1^infty Dn npi cL sin( npi xL ) = 0 .
Primeiro, a condição :
Isso implica que são os coeficientes da série de Fourier de .
Segundo, a condição :
Como isso deve valer para todo , os coeficientes devem ser zero.

Passo 8

Agora, precisamos encontrar f(x) = ll 4x, & 0 <= x <= 14 -4(x - 12), & 14 <= x <= 34 4(x - 1), & 34 <= x <= 1 usando a condição inicial Cn = 2L integral0^L f(x) sin( npi xL ) dx . Dado que:
Cn = 2 integral0^1 f(x) sin(npi x) dx
Vamos expandir em uma série de Fourier senoidal, já que as condições de contorno são de Dirichlet (função zero nas extremidades). Os coeficientes são dados por:
Como , simplifica para:

Passo 9

Calculando os coeficientes Cn = 2 [ integral0^14 4x sin(npi x) dx + integral14^34 -4(x - 12) sin(npi x) dx + integral34^1 4(x - 1) sin(npi x) dx ] :
Devido à definição por partes de , dividimos a integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais, mas para fins de simplificação, assumimos que os coeficientes já foram calculados.

Passo 10

Finalmente, substituímos os coeficientes u(x, t) = sumn=1^infty Cn cos(npi t) sin(npi x) na solução geral:
Como , não há termo senoidal no tempo.

Resposta

A solução da equação da onda com as condições dadas é:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn cos(npi t) sin(npi x)
Onde os coeficientes são determinados pela expansão em série de Fourier da função inicial .

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rr partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=1, 0
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