Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
(a) Se e são matrizes , então .
(b) Se e são matrizes tais que está definido e resulta numa matriz invertível, então e são quadradas e invertíveis.
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes quadradas e suas propriedades. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operações com matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a multiplicação de matrizes e as condições para que uma matriz seja invertível.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Se e são matrizes , então .
Primeiro, precisamos entender o que significa . Isso significa multiplicar a matriz por ela mesma:
Vamos expandir essa multiplicação:
Agora, a afirmação diz que . Compare com o que encontramos:
A diferença está nos termos e . Para que , precisaríamos que , ou seja, que as matrizes e comutem.
Mas, em geral, matrizes não necessariamente comutam. Ou seja, pode ser diferente de .
Passo 3
Portanto, a igualdade só vale se. Como estamos considerando matrizes gerais sem essa condição, a afirmação não é verdadeira em geral.
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se e são matrizes tais que está definido e resulta numa matriz invertível, então e são quadradas e invertíveis.
Primeiro, para que o produto esteja definido, o número de colunas de deve ser igual ao número de linhas de . Vamos supor que seja uma matriz e seja . Então, será uma matriz .
Para ser invertível, ela precisa ser:
Quadrada, ou seja, .
Ter determinante diferente de zero.
Se é invertível, então é uma matriz quadrada, o que implica que e também precisam ser quadradas (com ) para que ambas as multiplicações e sejam definidas e quadradas.
Além disso, se é invertível, então tanto quanto devem ser invertíveis. Isso porque, se tem um inverso, então e não podem ter determinantes iguais a zero (caso contrário, também não seria invertível).