Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
(a) Se
e
são matrizes
, então
.
(b) Se
e
são matrizes tais que
está definido e resulta numa matriz invertível, então
e
são quadradas e invertíveis.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes quadradas e suas propriedades. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operações com matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a multiplicação de matrizes e as condições para que uma matriz seja invertível.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação:
(a) Se
e
são matrizes
, então
.
Primeiro, precisamos entender o que significa
. Isso significa multiplicar a matriz
por ela mesma:
Vamos expandir essa multiplicação:
Agora, a afirmação diz que
. Compare com o que encontramos:
A diferença está nos termos
e
. Para que
, precisaríamos que
, ou seja, que as matrizes
e
comutem.
Mas, em geral, matrizes não necessariamente comutam. Ou seja,
pode ser diferente de
.
Passo 3
Portanto, a igualdade
só vale se
. Como estamos considerando matrizes gerais sem essa condição, a afirmação não é verdadeira em geral.
Agora, vamos para a segunda afirmação:
(b) Se
e
são matrizes tais que
está definido e resulta numa matriz invertível, então
e
são quadradas e invertíveis.
Primeiro, para que o produto
esteja definido, o número de colunas de
deve ser igual ao número de linhas de
. Vamos supor que
seja uma matriz
e
seja
. Então,
será uma matriz
.
Para
ser invertível, ela precisa ser:
- Quadrada, ou seja,
. - Ter determinante diferente de zero.
Se
é invertível, então
é uma matriz quadrada, o que implica que
e
também precisam ser quadradas (com
) para que ambas as multiplicações
e
sejam definidas e quadradas.
Além disso, se
é invertível, então tanto
quanto
devem ser invertíveis. Isso porque, se
tem um inverso, então
e
não podem ter determinantes iguais a zero (caso contrário,
também não seria invertível).
Passo 4
Então, juntando tudo:
-
invertível implica que é quadrada. -
invertível também implica que e são invertíveis. - E para
ser quadrada, e precisam ser quadradas.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.