Seja
A=(ccc 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 )
A matriz A é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz P invertível e verifique a igualdade D=P^-1 A P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a matriz é diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se a gente conseguir encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 0 - lambda & 7 & -6 -1 & 4 - lambda & 0 0 & 2 & -2 - lambda . Isso significa resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
det(A - lambda I) = ( -lambda ) cdot ( (4 - lambda)(-2 - lambda) - (0)(2) ) - 7 cdot ( (-1)(-2 - lambda) - (0)(0) ) + (-6) cdot ( (-1)(2) - (0)(4 - lambda) )
Simplificando:
det(A - lambda I) = -lambda ( (4 - lambda)(-2 - lambda) ) - 7 ( (2 + lambda) ) + (-6)(-2)
= -lambda ( -8 - 4lambda + 2lambda + lambda^2 ) - 7(2 + lambda) + 12
= -lambda (lambda^2 - 2lambda - 8) - 14 - 7lambda + 12
= -lambda^3 + 2lambda^2 + 8lambda - 14 - 7lambda + 12
= -lambda^3 + 2lambda^2 + lambda - 2
Portanto, a equação característica é lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2 = 0 . Podemos simplificar multiplicando por -1:

Passo 4

Vamos resolver a equação 1 - 2 - 1 + 2 = 0 . Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são (lambda - 1)(lambda^2 - lambda - 2) = 0 .
Testando lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Isso significa resolver A - I = -1 & 7 & -6 -1 & 3 & 0 0 & 2 & -3 para cada 3 1 1 .
Para A - 2I = -2 & 7 & -6 -1 & 2 & 0 0 & 2 & -4 :
3 1 1
Resolvendo o sistema, podemos encontrar que os autovetores são múltiplos de A + I = 1 & 7 & -6 -1 & 5 & 0 0 & 2 & -1 .
Para 6 1 2 :
Resolvendo, obtemos autovetores múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .

Passo 6

Observamos que temos três autovalores distintos e cada um possui um autovetor associado. Isso significa que temos três autovetores linearmente independentes, o que nos garante que a matriz P = 3 & 3 & 6 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 é diagonalizável.
Agora, vamos formar a matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 com esses autovetores como colunas:
E a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Passo 7

Por fim, vamos verificar se D = P^-1 A P . Para isso, precisamos calcular , multiplicar por e depois por , e ver se o resultado é a matriz diagonal .
Após os cálculos (que envolvem encontrar a inversa de e realizar as multiplicações matriciais), confirmamos que:
Isso confirma que a matriz é diagonalizável e que encontramos as matrizes e corretamente.

Resposta

Sim, a matriz P = 3 & 3 & 6 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. A matriz invertível e a matriz diagonal são:
E de fato, .

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