A matriz é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz invertível e verifique a igualdade .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a matriz é diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se a gente conseguir encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz . Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Isso significa resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é . Podemos simplificar multiplicando por -1:
Passo 4
Vamos resolver a equação . Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Isso significa resolver para cada .
Para :
Resolvendo o sistema, podemos encontrar que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, obtemos autovetores múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Passo 6
Observamos que temos três autovalores distintos e cada um possui um autovetor associado. Isso significa que temos três autovetores linearmente independentes, o que nos garante que a matriz é diagonalizável.
Agora, vamos formar a matriz com esses autovetores como colunas:
E a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Passo 7
Por fim, vamos verificar se . Para isso, precisamos calcular , multiplicar por e depois por , e ver se o resultado é a matriz diagonal .
Após os cálculos (que envolvem encontrar a inversa de e realizar as multiplicações matriciais), confirmamos que:
Isso confirma que a matriz é diagonalizável e que encontramos as matrizes e corretamente.
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável. A matriz invertível e a matriz diagonal são: