A matriz A é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz P invertível e verifique a igualdade D=P^-1 A P.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a matriz é diagonalizável. Basicamente, uma matriz é diagonalizável se a gente conseguir encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz . Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 0 - lambda & 7 & -6 -1 & 4 - lambda & 0 0 & 2 & -2 - lambda . Isso significa resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica:
Portanto, a equação característica é lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2 = 0 . Podemos simplificar multiplicando por -1:
Passo 4
Vamos resolver a equação 1 - 2 - 1 + 2 = 0 . Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são (lambda - 1)(lambda^2 - lambda - 2) = 0 .
Testando lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Isso significa resolver A - I = -1 & 7 & -6 -1 & 3 & 0 0 & 2 & -3 para cada 3 1 1 .
Para A - 2I = -2 & 7 & -6 -1 & 2 & 0 0 & 2 & -4 :
3 1 1
Resolvendo o sistema, podemos encontrar que os autovetores são múltiplos de A + I = 1 & 7 & -6 -1 & 5 & 0 0 & 2 & -1 .
Para 6 1 2 :
Resolvendo, obtemos autovetores múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Passo 6
Observamos que temos três autovalores distintos e cada um possui um autovetor associado. Isso significa que temos três autovetores linearmente independentes, o que nos garante que a matriz P = 3 & 3 & 6 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 é diagonalizável.
Agora, vamos formar a matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 com esses autovetores como colunas:
E a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Passo 7
Por fim, vamos verificar se D = P^-1 A P . Para isso, precisamos calcular , multiplicar por e depois por , e ver se o resultado é a matriz diagonal .
Após os cálculos (que envolvem encontrar a inversa de e realizar as multiplicações matriciais), confirmamos que:
Isso confirma que a matriz é diagonalizável e que encontramos as matrizes e corretamente.
Resposta
Sim, a matriz P = 3 & 3 & 6 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 é diagonalizável. A matriz invertível e a matriz diagonal são: