Seja (ll1 & 1 0 & 1) a matriz de um operador de R^2. Ache os valores próprios de T. T é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 1 0 & 1 que representa um operador linear no espaço . O objetivo aqui é achar os valores próprios dessa matriz e descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre valores próprios, vetores próprios e o que significa diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um valor próprio. Um valor próprio de uma matriz é um número tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Para encontrar esses , usamos a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz A = 1 & 1 0 & 1 . Nossa matriz I = 1 & 0 0 & 1 é:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda
E a matriz identidade em é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)^2 :
(1 - lambda)^2 = 0
Para encontrar os valores próprios, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá como valor próprio, de multiplicidade 2.

Passo 5

Agora que temos os valores próprios, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número de valores próprios distintos for igual à dimensão do espaço, ou seja, se tivermos um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

Passo 6

No nosso caso, temos apenas um valor próprio 0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0 com multiplicidade 2. Precisamos verificar se conseguimos dois vetores próprios distintos (linearmente independentes) para esse valor próprio.
Vamos resolver 1 0 :
Da primeira equação, temos , ou seja, . O é livre, então um vetor próprio é . Não conseguimos outro vetor próprio diferente desse.

Passo 7

Como só conseguimos um vetor próprio e a multiplicidade do valor próprio é 2, a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Os valores próprios de são com multiplicidade 2, e a matriz não é diagonalizável.

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