Seja
a matriz de um operador de
. Ache os valores próprios de
.
é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
que representa um operador linear no espaço
. O objetivo aqui é achar os valores próprios dessa matriz e descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre valores próprios, vetores próprios e o que significa diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um valor próprio. Um valor próprio
de uma matriz
é um número tal que existe um vetor não nulo
que satisfaz a equação
. Para encontrar esses
, usamos a equação característica:
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz
. Nossa matriz
é:
E a matriz identidade
em
é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de
:
Para encontrar os valores próprios, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá
como valor próprio, de multiplicidade 2.
Passo 5
Agora que temos os valores próprios, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número de valores próprios distintos for igual à dimensão do espaço, ou seja, se tivermos um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.
Passo 6
No nosso caso, temos apenas um valor próprio
com multiplicidade 2. Precisamos verificar se conseguimos dois vetores próprios distintos (linearmente independentes) para esse valor próprio.
Vamos resolver
:
Da primeira equação, temos
, ou seja,
. O
é livre, então um vetor próprio é
. Não conseguimos outro vetor próprio diferente desse.
Passo 7
Como só conseguimos um vetor próprio e a multiplicidade do valor próprio é 2, a matriz não é diagonalizável.
Resposta
Os valores próprios de
são
com multiplicidade 2, e a matriz
não é diagonalizável.