Seja a matriz de um operador de . Ache os valores próprios de . é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço . O objetivo aqui é achar os valores próprios dessa matriz e descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre valores próprios, vetores próprios e o que significa diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um valor próprio. Um valor próprio de uma matriz é um número tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Para encontrar esses , usamos a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz . Nossa matriz é:
E a matriz identidade em é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de :
Para encontrar os valores próprios, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá como valor próprio, de multiplicidade 2.

Passo 5

Agora que temos os valores próprios, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número de valores próprios distintos for igual à dimensão do espaço, ou seja, se tivermos um conjunto completo de vetores próprios linearmente independentes.

Passo 6

No nosso caso, temos apenas um valor próprio com multiplicidade 2. Precisamos verificar se conseguimos dois vetores próprios distintos (linearmente independentes) para esse valor próprio.
Vamos resolver :
Da primeira equação, temos , ou seja, . O é livre, então um vetor próprio é . Não conseguimos outro vetor próprio diferente desse.

Passo 7

Como só conseguimos um vetor próprio e a multiplicidade do valor próprio é 2, a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Os valores próprios de são com multiplicidade 2, e a matriz não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
(a) Se e são matrizes , então .
(b) Se e são matrizes tais que está definido e resulta numa matriz invertível, então e são quadradas e invertíveis.
Seja
A matriz é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz invertível e verifique a igualdade .
Sejam uma matriz de tamanho e e matrizes de tamanhos e , respectivamente, tais que . Mostre que qualquer solução da equação matricial é da forma , onde é matriz de tamanho que é solução da equação homogênea associada .