Verifique se quais das transforcões são lineares:
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra verificar se a transformação , dada por , é linear. Então, vamos falar um pouquinho sobre transformações lineares e o que a gente precisa checar pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades pra nossa transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) . Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 2(y1 + y2), 3(x1 + x2) + (y1 + y2) ) e T(u + v) = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 2y1 - 2y2, 3x1 + 3x2 + y1 + y2) .
Primeiro, somamos os vetores:
T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1 - 2y1, 3x1 + y1) + (x2 + y2, x2 - 2y2, 3x2 + y2)
Agora, aplicamos a transformação T(u) + T(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - 2y1 + x2 - 2y2, 3x1 + y1 + 3x2 + y2) nessa soma:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformação a cada vetor separadamente e depois somamos:
Somando as componentes correspondentes:
Comparando com , vemos que:
Então, a aditividade está confirmada.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer cu = (c x, c y) e um escalar T(cu) = T(c x, c y) = ( c x + c y, c x - 2c y, 3c x + c y ) = ( c(x + y), c(x - 2y), c(3x + y) ) .
Primeiro, aplicamos o escalar ao vetor:
cT(u) = c cdot (x + y, x - 2y, 3x + y) = (c(x + y), c(x - 2y), c(3x + y))
Agora, aplicamos a transformação T(cu) = cT(u) nesse vetor escalado:
Por outro lado, aplicamos a transformação primeiro e depois multiplicamos por :
Comparando os dois resultados:
Então, a homogeneidade também está confirmada.

Resposta

Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, a transformação é linear.

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