Verifique se quais das transforcões são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra verificar se a transformação , dada por , é linear. Então, vamos falar um pouquinho sobre transformações lineares e o que a gente precisa checar pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares): para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades pra nossa transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Seja e .
Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos a transformação nessa soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformação a cada vetor separadamente e depois somamos:
Somando as componentes correspondentes:
Comparando com , vemos que:
Então, a aditividade está confirmada.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer e um escalar .
Primeiro, aplicamos o escalar ao vetor:
Agora, aplicamos a transformação nesse vetor escalado:
Por outro lado, aplicamos a transformação primeiro e depois multiplicamos por :
Comparando os dois resultados:
Então, a homogeneidade também está confirmada.

Resposta

Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, a transformação é linear.

Exercícios relacionados

Sabendo que um operador linear é tal que:
e , encontrar .
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se , então são paralelos.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se e são paralelos, então .