Verifique se quais das transforcões são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu pra verificar se a transformação
, dada por
, é linear. Então, vamos falar um pouquinho sobre transformações lineares e o que a gente precisa checar pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade (ou compatibilidade com escalares):
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades pra nossa transformação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
.
Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos a transformação
nessa soma:
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformação a cada vetor separadamente e depois somamos:
Somando as componentes correspondentes:
Comparando com
, vemos que:
Então, a aditividade está confirmada.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Agora, vamos pegar um vetor qualquer
e um escalar
.
Primeiro, aplicamos o escalar ao vetor:
Agora, aplicamos a transformação
nesse vetor escalado:
Por outro lado, aplicamos a transformação primeiro e depois multiplicamos por
:
Comparando os dois resultados:
Então, a homogeneidade também está confirmada.
Resposta
Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, a transformação
é linear.
Exercícios relacionados
Sabendo que um operador linear
é tal que:
e
, encontrar
.
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
, então
são paralelos.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
e
são paralelos, então
.