Sejam
um espaço vetorial e
um subconjunto de
. Mostre que o subespaço de
gerado por
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contém
como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos
são iguais o truque é mostrar que
e que
.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por
o
Dica: para mostrar que dois subconjuntos
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o subespaço gerado por um conjunto
dentro de um espaço vetorial
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contêm
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços e geração de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço gerado e como funciona a interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o subespaço gerado por
. Esse subespaço, denotado por
, é o menor subespaço de
que contém todos os vetores de
. Em outras palavras, é formado por todas as combinações lineares dos vetores de
.
Passo 3
Agora, vamos entender a interseção de todos os subespaços de
que contêm
. Pense em todos os subespaços que têm
dentro deles e imagine pegar só os pontos que estão em todos esses subespaços ao mesmo tempo. Essa interseção será o menor conjunto que está em todos esses subespaços, ou seja, o menor subespaço que contém
.
Passo 4
Para mostrar que
é igual a essa interseção, seguimos a dica: provar duas inclusões. Primeiro, mostrar que
está dentro da interseção. Depois, mostrar que a interseção está dentro de
.
Passo 5
Primeira inclusão: Como
é um subespaço que contém
, ele está em todas as interseções desses subespaços. Então,
.
Segunda inclusão: Qualquer vetor que está na interseção de todos os subespaços que contêm
deve estar em
, pois
é justamente o menor desses subespaços. Assim,
.
Resposta
Portanto, concluímos que o subespaço gerado por
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contêm
, ou seja:
Exercícios relacionados
Sejam
um conjunto e
um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em .
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se então
.
3. Se
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
- Se
e então .
Sejam
subconjuntos de
. Mostre que
e que
é subespaço. Determine
subespaço de
tal que
.