Sejam
um conjunto e
um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em
.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente definir como funciona a soma e o produto por escalar no conjunto
, onde
é um conjunto e
é um espaço vetorial. Basicamente,
representa todas as funções que levam elementos de
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operações de soma e produto por escalar em espaços vetoriais e como aplicá-las no contexto de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto onde podemos somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e essas operações seguem certas regras, como a comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor zero, entre outras.
No nosso caso, os “vetores” são as funções de
para
. Então, queremos definir como somar duas funções e como multiplicar uma função por um escalar.
Passo 3
Vamos começar definindo a soma de duas funções. Se temos duas funções
e
em
, a soma
é definida função a função. Isso significa que para cada elemento
de
, a soma
é igual à soma dos valores de
e
no espaço vetorial
.
Matematicamente, podemos escrever:
Aqui, o símbolo
do lado direito representa a soma no espaço vetorial
.
Passo 4
Agora, vamos definir o produto por escalar. Se temos uma função
em
e um escalar
(que pertence ao campo sobre o qual o espaço vetorial
está definido, como os números reais), o produto
é também uma função de
para
. Para cada elemento
de
, o valor de
é igual ao escalar
multiplicado pelo valor de
no espaço vetorial
.
Ou seja:
Aqui, o
representa a multiplicação escalar no espaço vetorial
.
Passo 5
Essas definições garantem que
com essas operações de soma e produto por escalar satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial. Isso inclui a existência de um elemento neutro (a função zero), a existência de inversos aditivos, e a compatibilidade das operações com os axiomas dos espaços vetoriais.
Resposta
Portanto, em
, as operações são definidas da seguinte forma:
-
Soma de funções: Para quaisquer
, a soma é dada por para todo . -
Produto por escalar: Para qualquer escalar
e função , o produto é definido por para todo .
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se então
.
3. Se
Sejam
e
.
- Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto
.
Sejam
um espaço vetorial e
um subconjunto de
. Mostre que o subespaço de
gerado por
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contém
como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos são iguais o truque é mostrar que
e que
.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por o
Dica: para mostrar que dois subconjuntos
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
- Se
e então .