Determine d f / d x em cada caso
f(x) = (x^2 + 1) / raiz(4*x - 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a . Isso envolve conhecimentos de derivadas, especialmente da regra do quociente e da regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar essas regras para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Temos uma divisão de duas funções:
  • O numerador é .
  • O denominador é , que também pode ser escrito como .
Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
    Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia. Primeiro, identificamos a função externa e a função interna .
    A derivada da função externa em relação a é:
    Multiplicando pela derivada da função interna :

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Sabemos que .
  2. Simplificando o numerador:
  1. Fazendo a distribuição no numerador:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Podemos reescrever como :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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