• Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
    a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor de no ponto . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função dada é:
A derivada de em relação a é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função é sempre .

Passo 4

Como a inclinação da reta tangente é constante e igual a , a inclinação no ponto também será:

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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    b)
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