• Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x_0.
    a) f(x) = x + 1, x0 = 3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor de f(x) no ponto . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função f(x), que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x. A função dada é:
A derivada de f(x) em relação a x é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função é sempre 1.

Passo 4

Como a inclinação da reta tangente é constante e igual a 1, a inclinação no ponto também será:

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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