- Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o valor de
no ponto
. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função é sempre
.
Passo 4
Como a inclinação da reta tangente é constante e igual a
, a inclinação no ponto
também será:
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
- Dada a função
, determine a variação de , quando aumenta de 1 para 3 e a taxa de variação .
- Obtenha, pela definição, as derivadas de:
b)
- Obtenha, pela definição, as derivadas de:
c)
- Calcule o coeficiente angular da reta secante à curva
nos pontos e e o coeficiente angular da reta tangente à mesma curva em .