• Obtenha, pela definição, as derivadas de:
    b) y = x^2 + x + 1

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função e a gente precisa encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada. Basicamente, vamos usar a ideia de limite para descobrir a taxa de variação dessa função em qualquer ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso quer dizer que a derivada é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função . Primeiro, calculamos :
Vamos expandir isso:
Agora, subtraímos de :
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora dividir essa expressão por conforme a definição:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 5

Finalmente, aplicamos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é:

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