- Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
d)
d)
Passo 1
Hoje vamos resolver um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto
. A função dada é
e o ponto de interesse é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea da função em um ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Vamos reescrever
para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de derivação para potências, que diz que
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor de
no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Portanto, a inclinação
da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na função onde vamos traçar a reta tangente. Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
.
Vamos calcular
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 5
Agora, com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
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- Obtenha as equações das retas tangente e normal à parábola
em .
- Determinar a equação das retas tangente e normal à parábola
em .
- Obtenha, pela definição, as derivadas de:
b)
- Dada a função
, determine a variação de , quando aumenta de 1 para 3 e a taxa de variação .