• Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
    d)

Passo 1

Hoje vamos resolver um exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto . A função dada é e o ponto de interesse é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea da função em um ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de derivação para potências, que diz que . Aplicando isso:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor de no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na função onde vamos traçar a reta tangente. Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto .
Vamos calcular :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 5

Agora, com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

Exercícios relacionados

  • Obtenha as equações das retas tangente e normal à parábola em .
  • Determinar a equação das retas tangente e normal à parábola em .
  • Obtenha, pela definição, as derivadas de:
    b)
  • Dada a função , determine a variação de , quando aumenta de 1 para 3 e a taxa de variação .