Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: c) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto , que representa todos os vetores com componentes reais, é um espaço vetorial real. Para isso, vamos usar os conceitos de **espaço vetorial** e verificar se satisfaz todos os axiomas necessários com a adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é um **espaço vetorial**. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar duas operações: **adição de vetores** e **multiplicação por escalar**. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito **axiomas** que definem como essas operações funcionam.

Passo 3

Vamos conferir cada um desses axiomas para com as operações usuais: 1. **Comutatividade da adição**: Para quaisquer vetores , temos . Isso é verdade porque a adição de números reais é comutativa. 2. **Associatividade da adição**: Para quaisquer vetores , . A adição de vetores em é associativa. 3. **Elemento neutro da adição**: Existe um vetor zero tal que para todo . O vetor zero é o vetor com todas as componentes iguais a zero. 4. **Inverso aditivo**: Para cada vetor , existe um vetor tal que . Isso é garantido pela existência de inversos aditivos nos números reais. 5. **Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares**: Para quaisquer escalares e qualquer vetor , . Isso segue das propriedades dos números reais. 6. **Identidade multiplicativa**: Para qualquer vetor , . O número 1 age como identidade na multiplicação. 7. **Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores**: Para qualquer escalar e quaisquer vetores , . Isso é válido devido à distributividade dos números reais. 8. **Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares**: Para quaisquer escalares e qualquer vetor , . Novamente, isso vem das propriedades dos números reais.

Passo 4

Como vimos, todas as oito propriedades dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por com a adição e multiplicação por escalar usuais. Isso significa que cumpre todos os requisitos para ser considerado um espaço vetorial real.

Resposta

Portanto, o conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais é, de fato, um espaço vetorial real.

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Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: b) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;