Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: c) O conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
, que representa todos os vetores com
componentes reais, é um espaço vetorial real. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e verificar se
satisfaz todos os axiomas necessários com a adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito axiomas que definem como essas operações funcionam.
Passo 3
Vamos conferir cada um desses axiomas para
com as operações usuais:
-
Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores
, temos . Isso é verdade porque a adição de números reais é comutativa. -
Associatividade da adição: Para quaisquer vetores
, . A adição de vetores em é associativa. -
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que para todo . O vetor zero é o vetor com todas as componentes iguais a zero. -
Inverso aditivo: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . Isso é garantido pela existência de inversos aditivos nos números reais. -
Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para quaisquer escalares
e qualquer vetor , . Isso segue das propriedades dos números reais. -
Identidade multiplicativa: Para qualquer vetor
, . O número 1 age como identidade na multiplicação. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer escalar
e quaisquer vetores , . Isso é válido devido à distributividade dos números reais. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares
e qualquer vetor , . Novamente, isso vem das propriedades dos números reais.
Passo 4
Como vimos, todas as oito propriedades dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
com a adição e multiplicação por escalar usuais. Isso significa que
cumpre todos os requisitos para ser considerado um espaço vetorial real.
Resposta
Portanto, o conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais é, de fato, um espaço vetorial real.