Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: c) O conjunto R^n com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto R^n, que representa todos os vetores com n componentes reais, é um espaço vetorial real. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial e verificar se R^n satisfaz todos os axiomas necessários com a adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Para que um conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito axiomas que definem como essas operações funcionam.

Passo 3

Vamos conferir cada um desses axiomas para R^n com as operações usuais:
  1. Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores u, v in R^n, temos u + v = v + u. Isso é verdade porque a adição de números reais é comutativa.
  2. Associatividade da adição: Para quaisquer vetores u, v, w in R^n, (u + v) + w = u + (v + w). A adição de vetores em R^n é associativa.
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero 0 in R^n tal que u + 0 = u para todo u in R^n. O vetor zero é o vetor com todas as componentes iguais a zero.
  4. Inverso aditivo: Para cada vetor u in R^n, existe um vetor -u in R^n tal que u + (-u) = 0. Isso é garantido pela existência de inversos aditivos nos números reais.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para quaisquer escalares a, b in R e qualquer vetor u in R^n, a(bu) = (ab)u. Isso segue das propriedades dos números reais.
  6. Identidade multiplicativa: Para qualquer vetor u in R^n, 1 cdot u = u. O número 1 age como identidade na multiplicação.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para qualquer escalar a in R e quaisquer vetores u, v in R^n, a(u + v) = au + av. Isso é válido devido à distributividade dos números reais.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer escalares a, b in R e qualquer vetor u in R^n, (a + b)u = au + bu. Novamente, isso vem das propriedades dos números reais.

Passo 4

Como vimos, todas as oito propriedades dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por R^n com a adição e multiplicação por escalar usuais. Isso significa que R^n cumpre todos os requisitos para ser considerado um espaço vetorial real.

Resposta

Portanto, o conjunto R^n com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais é, de fato, um espaço vetorial real.

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