Determine d f / d x em cada caso
f(x) = raiz(4 x^3 + 2 x^2 + 1)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a derivada de . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação dessa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando potências fracionárias, já que a raiz quadrada é igual a elevar ao expoente :
Isso nos ajuda a aplicar a regra da potência na derivação.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No caso, é uma função externa e uma função interna .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, calculamos , que é a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, juntamos as duas derivadas usando a regra da cadeia:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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