integral0^2 integral0^1 3 y^2 e^x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte interna da integral, que é 3 e^x integral0^1 y^2 , dy . Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral y^2 , dy = y^33 em relação a 1^33 - 0^33 = 13 . A integral de em relação a é . Então:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 4

Voltando à nossa expressão anterior:
3 e^x times 13 = e^x
Então, a integral dupla simplifica para:
integral0^2 e^x , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral e^x , dx = e^x + C em relação a e^2 - e^0 = e^2 - 1 . A integral de é :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

O valor da integral é .

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