Determine a dimensão e uma base do espaço solução do sistema linear
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui são três equações lineares com quatro incógnitas (x, y, z, t). Nosso objetivo é encontrar a dimensão e uma base do espaço solução W desse sistema. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, como a redução de matrizes e o conceito de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
Vamos aplicar a redução de linha para simplificar essa matriz e encontrar as variáveis livres.
Passo 3
Vamos começar zerando abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes a primeira linha da terceira:
Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0, 4 - 2 times 2 = 0, 4 - 2 times 1 = 2, -1 - 2 times (-3) = 5, 0 - 2 times 0 = 0
Linha 3: 3 - 3 times 1 = 0, 6 - 3 times 2 = 0, 7 - 3 times 1 = 4, 1 - 3 times (-3) = 10, 0 - 3 times 0 = 0
Agora, vamos simplificar a terceira linha. Podemos ver que a terceira linha é o dobro da segunda, então subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira para zerar os coeficientes:
Linha 3: 4 - 2 times 2 = 0, 10 - 2 times 5 = 0, 0 - 2 times 0 = 0
Isso nos mostra que temos duas equações independentes.
Passo 5
Vamos agora expressar as variáveis em termos das variáveis livres. Observamos que y e t são variáveis livres (podem assumir qualquer valor). Vamos resolver as equações:
Da primeira linha: x + 2y + z - 3t = 0 Rightarrow x = -2y - z + 3t