Determine a dimensão e uma base do espaço solução W do sistema linear
l x+2 y+z-3 t=0 2 x+4 y+4 z-t=0 3 x+6 y+7 z+t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui são três equações lineares com quatro incógnitas ( x, y, z, t). Nosso objetivo é encontrar a dimensão e uma base do espaço solução W desse sistema. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, como a redução de matrizes e o conceito de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
1 & 2 & 1 & -3 & | & 0 2 & 4 & 4 & -1 & | & 0 3 & 6 & 7 & 1 & | & 0
Vamos aplicar a redução de linha para simplificar essa matriz e encontrar as variáveis livres.

Passo 3

Vamos começar zerando abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes a primeira linha da terceira:
  • Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0, 4 - 2 times 2 = 0, 4 - 2 times 1 = 2, -1 - 2 times (-3) = 5, 0 - 2 times 0 = 0
  • Linha 3: 3 - 3 times 1 = 0, 6 - 3 times 2 = 0, 7 - 3 times 1 = 4, 1 - 3 times (-3) = 10, 0 - 3 times 0 = 0
A matriz fica assim:
1 & 2 & 1 & -3 & | & 0 0 & 0 & 2 & 5 & | & 0 0 & 0 & 4 & 10 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Podemos ver que a terceira linha é o dobro da segunda, então subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira para zerar os coeficientes:
  • Linha 3: 4 - 2 times 2 = 0, 10 - 2 times 5 = 0, 0 - 2 times 0 = 0
A matriz fica:
1 & 2 & 1 & -3 & | & 0 0 & 0 & 2 & 5 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
Isso nos mostra que temos duas equações independentes.

Passo 5

Vamos agora expressar as variáveis em termos das variáveis livres. Observamos que y e t são variáveis livres (podem assumir qualquer valor). Vamos resolver as equações:
  1. Da primeira linha: x + 2y + z - 3t = 0 Rightarrow x = -2y - z + 3t
  2. Da segunda linha: 2z + 5t = 0 Rightarrow z = -52t
Substituindo z na expressão de x:
x = -2y - (-52t) + 3t = -2y + 52t + 3t = -2y + 112t
Então, podemos escrever as soluções em termos de y e t:
x = -2y + 112t y = y z = -52t t = t

Passo 6

Para encontrar uma base do espaço solução W, vamos expressar as soluções como combinações lineares das variáveis livres y e t:
x y z t = y -2 1 0 0 + t 112 0 -52 1
Portanto, uma base para W é formada pelos vetores:
-2 1 0 0 , 112 0 -52 1
A dimensão do espaço solução W é 2, já que temos duas variáveis livres.

Resposta

A dimensão do espaço solução W é 2, e uma base para W é formada pelos vetores -2 1 0 0 e 112 0 -52 1 .

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