Determine em cada caso a seguir, um vetor unitário paralelo á reta dad
x-13=2 y+1=z2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma reta definida pela equação x-13=2 y+1=z2. Nosso objetivo é encontrar um vetor unitário que seja paralelo a essa reta. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar o vetor diretor da reta e, em seguida, transformá-lo em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. A equação fornecida está na forma simétrica, que geralmente é escrita como x - x0a = y - y0b = z - z0c, onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.
No nosso caso, a equação é x-13=2 y+1=z2. Vamos reescrever para identificar as componentes do vetor diretor:
  • Para a parte de x: x-13 sugere que a = 3.
  • Para a parte de y: 2 y + 1 podemos rearranjar para y + 0.50.5, então b = 0.5.
  • Para a parte de z: z2 sugere que c = 2.
Portanto, o vetor diretor v é (3, 0.5, 2).

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, queremos transformá-lo em um vetor unitário. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1 e aponta na mesma direção do vetor original. Para isso, vamos calcular a magnitude do vetor v e depois dividir cada componente do vetor pela sua magnitude.
A magnitude |v| é calculada pela fórmula:
|v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz3^2 + 0.5^2 + 2^2 = raiz9 + 0.25 + 4 = raiz13.25 approx 3.6401

Passo 4

Com a magnitude calculada, podemos encontrar o vetor unitário u dividindo cada componente de v pela sua magnitude:
u = ( 33.6401, 0.53.6401, 23.6401 ) approx (0.823, 0.137, 0.549)

Resposta

Um vetor unitário paralelo à reta dada é aproximadamente u = (0.823, 0.137, 0.549).

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