Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A(1,2,3) e é paralelo aos vetores u=(2,1,-1) e v=(1,-1,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever as equações paramétricas de um plano que passa por um ponto específico e que é paralelo a dois vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial que envolvem planos no espaço tridimensional.

Passo 2

As equações paramétricas de um plano podem ser expressas usando um ponto conhecido no plano e dois vetores que são paralelos ao plano. A forma geral das equações paramétricas é:
x = x0 + s cdot a1 + t cdot b1 y = y0 + s cdot a2 + t cdot b2 z = z0 + s cdot a3 + t cdot b3
Onde:
  • é o ponto pelo qual o plano passa.
  • e são vetores paralelos ao plano.
  • e são parâmetros que variam nos reais.

Passo 3

No nosso caso, o ponto x = 1 + 2s + 1t y = 2 + 1s - 1t z = 3 - 1s + 2t será , e os vetores e serão e , respectivamente. Vamos substituir esses valores na fórmula geral:

Passo 4

Simplificando as equações, ficamos com:
x = 1 + 2s + t y = 2 + s - t z = 3 - s + 2t
Aqui, e são os parâmetros que definem qualquer ponto no plano.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 1 + 2s + t y = 2 + s - t z = 3 - s + 2t
Onde e são números reais.

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