Resolva os sistemas pelo método de Gauss-Jordan.
a) c3 x+5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0
b) cx+3 y+z=0 2 x+6 y+2 z=0 -x-3 y-z=0
c) cx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3
d) cx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3 x+7 y-7 z=5
e) c3 x+2 y-4 z=1 x-y+z=3 x-y-3 z=-3 -x+y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações que você enviou usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida. Vamos precisar entender como montar essa matriz e realizar operações básicas de linha para chegar à solução.
O sistema que vamos resolver é:
3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y - z = 0

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes após uma barra vertical. Assim, nosso sistema fica representado por:
3 & 5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas representam os coeficientes de , , e os termos constantes, respectivamente.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde tenhamos 1s na diagonal principal (de cima para baixo) e 0s abaixo e acima deles. Isso facilita a leitura das soluções para as variáveis.
Começamos normalmente tentando obter um 1 na posição R1 = R13 implies 1 & 53 & 0 & | & 13 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0 . Se já não for 1, podemos dividir a primeira linha por aquele coeficiente. No nosso caso, a primeira entrada é 3. Então, vamos dividir a primeira linha inteira por 3.

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 que acabamos de criar na primeira posição da primeira coluna. Para isso, vamos substituir as linhas R2 = R2 - 2 times R1 implies R2 = [2, 0, 1 | 3] - 2 times [1, 53, 0 | 13] = [0, -103, 1 | 73] e R3 = R3 - 5 times R1 implies R3 = [5, 1, -1 | 0] - 5 times [1, 53, 0 | 13] = [0, -223, -1 | -53] por combinações lineares delas com a 1 & 53 & 0 & | & 13 0 & -103 & 1 & | & 73 0 & -223 & -1 & | & -53 .
Para :
Para :
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna para criar um 1 na posição R2 = -310 times R2 implies R2 = [0, 1, -310 | -710] . Primeiro, multiplicamos a segunda linha por 1 & 53 & 0 & | & 13 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & -223 & -1 & | & -53 para tornar o coeficiente de igual a 1.
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, vamos eliminar o R1 = R1 - 53 times R2 implies R1 = [1, 53, 0 | 13] - 53 times [0, 1, -310 | -710] = [1, 0, 12 | 45] acima da posição R3 = R3 + 223 times R2 implies R3 = [0, -223, -1 | -53] + 223 times [0, 1, -310 | -710] = [0, 0, -115 | -5915] na primeira linha e o 1 & 0 & 12 & | & 45 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & 0 & -115 & | & -5915 na terceira linha.
Para a primeira linha:
Para a terceira linha:
A matriz agora é:

Passo 7

Por fim, vamos trabalhar na terceira coluna para obter um 1 na posição R3 = -511 times R3 implies R3 = [0, 0, 1 | 5933] . Multiplicamos a terceira linha por 1 & 0 & 12 & | & 45 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & 0 & 1 & | & 5933 :
Agora, a matriz está quase na forma desejada:

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na primeira linha:
R1 = R1 - 12 times R3 implies R1 = [1, 0, 12 | 45] - 12 times [0, 0, 1 | 5933] = [1, 0, 0 | 45 - 5966] = [1, 0, 0 | 2566]
Na segunda linha:
R2 = R2 + 310 times R3 implies R2 = [0, 1, -310 | -710] + 310 times [0, 0, 1 | 5933] = [0, 1, 0 | -710 + 177330] = [0, 1, 0 | -2166]
A matriz final fica:
1 & 0 & 0 & | & 2566 0 & 1 & 0 & | & -2166 0 & 0 & 1 & | & 5933

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2566, y = -2166, z = 5933
Simplificando as frações:
x = 2566 approx 0,379, y = -722 approx -0,318, z = 5933 approx 1,788

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