Neste exercício, precisamos encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes e sistemas lineares, para determinar essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz 2x2 desconhecida. Isso significa que:
Onde
Passo 3
Sabemos que . Vamos escrever isso em termos da matriz :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Também sabemos que . Vamos escrever isso:
Isso fornece mais duas equações:
Passo 5
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 6
Primeiro, vamos simplificar as equações (1) e (2) dividindo por 4:
a + b = 14 (1')
c + d = 14 (2')
Passo 7
Agora, resolvemos a equação (1’) para a = 14 - b :
2(14 - b) + 3b = 3
Substituímos esse valor na equação (3):
12 - 2b + 3b = 3
12 + b = 3
b = 3 - 12 = 52
Passo 8
Com o valor de a = 14 - 52 = 14 - 104 = -94 , encontramos :
Passo 9
Agora, resolvemos para c = 14 - d e 2(14 - d) + 3d = 2 usando as equações (2’) e (4).
Primeiro, resolvemos a equação (2’) para 12 - 2d + 3d = 2 :
12 + d = 2
Substituímos esse valor na equação (4):
d = 2 - 12 = 32
Passo 10
Com o valor de c = 14 - 32 = 14 - 64 = -54 , encontramos :
Resposta
A transformação linear T = -dfrac94 & dfrac52 -dfrac54 & dfrac32 é representada pela matriz: