Determine a transformação linear tal que T(4,4)=(1,1) e T(2,3)=(3,2).

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes e sistemas lineares, para determinar essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x) = A x por uma matriz a & b c & d 2x2 desconhecida. Isso significa que:
Onde

Passo 3

Sabemos que A 4 4 = 1 1 . Vamos escrever isso em termos da matriz 4a + 4b = 1 (1) :
4c + 4d = 1 (2)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Também sabemos que A 2 3 = 3 2 . Vamos escrever isso:
2a + 3b = 3 (3)
Isso fornece mais duas equações:
2c + 3d = 2 (4)

Passo 5

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
4a + 4b = 1 4c + 4d = 1 2a + 3b = 3 2c + 3d = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar as equações (1) e (2) dividindo por 4:
a + b = 14 (1')
c + d = 14 (2')

Passo 7

Agora, resolvemos a equação (1’) para a = 14 - b :
2(14 - b) + 3b = 3
Substituímos esse valor na equação (3):
12 - 2b + 3b = 3
12 + b = 3
b = 3 - 12 = 52

Passo 8

Com o valor de a = 14 - 52 = 14 - 104 = -94 , encontramos :

Passo 9

Agora, resolvemos para c = 14 - d e 2(14 - d) + 3d = 2 usando as equações (2’) e (4).
Primeiro, resolvemos a equação (2’) para 12 - 2d + 3d = 2 :
12 + d = 2
Substituímos esse valor na equação (4):
d = 2 - 12 = 32

Passo 10

Com o valor de c = 14 - 32 = 14 - 64 = -54 , encontramos :

Resposta

A transformação linear T = -dfrac94 & dfrac52 -dfrac54 & dfrac32 é representada pela matriz:

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Para cada um dos itens abaixo determinar:
lang<= u, vrang<=
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Determine em cada caso os vértices (do eixo maior) V1 e V2 e os focos F1 e F2 da elipse dada. Faça um esboço de cada uma. x^2+25 y^2=25