Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z, números reais tais que a matriz A seja simétrica.
© A=(ccc8 & x^3+3 & -5 7 & -9 & 4 y+z & z+3 x & 11).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de , e para que a matriz seja simétrica. Isso significa que a matriz deve ser igual à sua transposta, ou seja, os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais quando trocamos as linhas pelas colunas. Vamos usar conceitos de matrizes simétricas e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . Na prática, isso quer dizer que o elemento da posição deve ser igual ao elemento da posição .

Passo 3

Vamos analisar a matriz A = 8 & x^3 + 3 & -5 7 & -9 & 4 y + z & z + 3x & 11 :
Para que seja simétrica, precisamos que:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para encontrar x^3 + 3 = 7 x^3 = 7 - 3 x^3 = 4 x = raiz[3]4 :
Então, .

Passo 5

Agora, usamos o valor de 4 = z + 3x z = 4 - 3x z = 4 - 3raiz[3]4 para encontrar através da terceira equação:
Então, .

Passo 6

Por fim, usamos o valor de -5 = y + z y = -5 - z y = -5 - (4 - 3raiz[3]4) y = -5 - 4 + 3raiz[3]4 y = -9 + 3raiz[3]4 para encontrar através da segunda equação:
Então, .

Resposta

Os valores que tornam a matriz x = raiz[3]4, y = -9 + 3raiz[3]4, z = 4 - 3raiz[3]4 simétrica são:

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