Determine um ponto e um vetor normal ao plano pi, nos seguintes casos:
pi: 2 x-3 y+1=-z.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um ponto que está no plano pi e um vetor normal a esse plano. O conteúdo que estamos usando aqui é geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar um vetor normal a um plano a partir da equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação do plano para a forma padrão. A equação dada é:
2x - 3y + 1 = -z
Vamos trazer o z para o lado esquerdo para ter tudo igual a zero:
2x - 3y + z + 1 = 0
Agora, temos a equação na forma:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde A, B, e C são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano.

Passo 3

Identificando os coeficientes, temos:
A = 2,
B = -3,
C = 1
Então, o vetor normal n ao plano pi é:
n = 2 -3 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar um ponto que está no plano. Para isso, podemos escolher valores para duas das coordenadas e resolver para a terceira. Vamos escolher x = 0 e y = 0 para simplificar.
Substituindo na equação do plano:
2(0) - 3(0) + z + 1 = 0
0 - 0 + z + 1 = 0
z + 1 = 0
z = -1
Então, um ponto no plano é:
(0, 0, -1)

Resposta

Um ponto no plano pi é (0, 0, -1) e um vetor normal ao plano é n = 2 -3 1 .

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