(8 pts) Mostre, por definição, que o conjunto v1, v2, v3 é LD.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa mostrar, usando a definição, que o conjunto é Linearmente Dependente (LD). Isso cai no assunto de Álgebra Linear, onde a gente analisa como os vetores se relacionam entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente e usar essa definição para provar o que a questão pede.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores ser Linearmente Dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos mais formais, existem escalares a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0 , nem todos zero, tais que:
Essa é a definição chave que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos montar essa combinação linear com os vetores que temos. A ideia é encontrar valores para a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0 que não sejam todos zero e que satisfaçam a equação acima. Se a gente conseguir encontrar esses valores, então o conjunto é LD.

Passo 4

Vamos supor que conseguimos encontrar tais escalares 1 cdot v1 - 2 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 . Por exemplo, digamos que , e satisfaçam a equação:
Nesse caso, temos uma combinação linear não trivial onde os coeficientes não são todos zero.

Resposta

Portanto, como encontramos uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, concluímos que o conjunto é Linearmente Dependente (LD).

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