Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z, números reais tais que a matriz A seja simétrica.
(b) A=(ccc4 & x+1 & -6 -3 & 2 & -4 2 y+2 & 2 z & 9).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar os valores de , e que fazem com que a matriz seja simétrica. Matriz simétrica significa que ela é igual à sua transposta, ou seja, os elementos estão “espelhados” em relação à diagonal principal. Para isso, precisamos que . Vamos usar esse conceito para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 4 & x+1 & -6 -3 & 2 & -4 2y + 2 & 2z & 9 e sua transposta A^T = 4 & -3 & 2y + 2 x+1 & 2 & 2z -6 & -4 & 9 :
A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas:

Passo 3

Para que x + 1 = -3 seja simétrica, cada elemento -6 = 2y + 2 deve ser igual ao elemento correspondente -4 = 2z na transposta. Vamos comparar os elementos fora da diagonal principal:
  1. Elemento (1,2) e (2,1):
  2. Elemento (1,3) e (3,1):
  3. Elemento (2,3) e (3,2):

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os valores de x = -3 - 1 x = -4 , 2y = -6 - 2 2y = -8 y = -82 y = -4 e z = -42 z = -2 .
  1. Resolvendo :
  2. Resolvendo :
  3. Resolvendo :

Resposta

Os valores que tornam a matriz x = -4, y = -4, z = -2 simétrica são:

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