Determine números reais x e y tais que
[ll x^3 & y^2 y^2 & x^2 ]+[cc -x & 3 y 4 y & 2 x ]=[cc 0 & 4 5 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar números reais e que satisfaçam uma equação envolvendo a soma de duas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar matrizes e igualar os elementos correspondentes. Basicamente, vamos comparar cada posição das matrizes para montar um sistema de equações e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas matrizes do lado esquerdo da equação:
x^3 & y^2 y^2 & x^2 + - x & 3 y 4 y & 2 x = x^3 - x & y^2 + 3 y y^2 + 4 y & x^2 + 2 x

Passo 3

Agora, igualamos cada elemento da matriz resultante à matriz do lado direito da equação:
x^3 - x = 0 &(1) y^2 + 3 y = 4 &(2) y^2 + 4 y = 5 &(3) x^2 + 2 x = -1 &(4)

Passo 4

Vamos resolver a equação x^3 - x = x (x^2 - 1) = 0 :
x = 0 ou x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
Isso nos dá duas possibilidades:
Então, pode ser , ou .

Passo 5

Agora, observe as equações (2) e (3):
y^2 + 3 y = 4 &(2) y^2 + 4 y = 5 &(3)
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
(y^2 + 4 y) - (y^2 + 3 y) = 5 - 4 Rightarrow y = 1
Então, .

Passo 6

Vamos verificar 1^2 + 3 times 1 = 1 + 3 = 4 (válido) na equação (2):
1^2 + 4 times 1 = 1 + 4 = 5 (válido) á
E na equação (3):
á

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de x^2 + 2 x = -1 Rightarrow x^2 + 2 x + 1 = 0 Rightarrow (x + 1)^2 = 0 Rightarrow x = -1 usando a equação (4):

Resposta

Os números reais que satisfazem a equação são e .

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