Uma matriz quadrada é dita idempotente se .
Mostre que a matriz é édempotente. Calcule A^3, A^4, ldots, A^n.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a matriz quadrada 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4 é idempotente, ou seja, que . Além disso, precisamos calcular . Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz é idempotente se, ao multiplicá-la por ela mesma, o resultado é a própria matriz: . Isso implica que, para todas as potências superiores, como , o resultado será sempre .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz A^2 = A times A = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4 times 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4 dada é realmente idempotente. Para isso, precisamos calcular (2)(2) + (-1)(-3) + (1)(-5) = 4 + 3 - 5 = 2 , ou seja, multiplicar a matriz (2)(-1) + (-1)(4) + (1)(5) = -2 - 4 + 5 = -1 por ela mesma.
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas de uma matriz pelas colunas da outra. Vamos calcular cada elemento de (2)(1) + (-1)(-3) + (1)(-4) = 2 + 3 - 4 = 1 :
(-3)(2) + (4)(-3) + (-3)(-5) = -6 - 12 + 15 = -3
Vamos calcular elemento por elemento:
Elemento (1,1):
(-3)(-1) + (4)(4) + (-3)(5) = 3 + 16 - 15 = 4
Elemento (1,2):
(-3)(1) + (4)(-3) + (-3)(-4) = -3 - 12 + 12 = -3
Elemento (1,3):
(-5)(2) + (5)(-3) + (-4)(-5) = -10 - 15 + 20 = -5
Elemento (2,1):
(-5)(-1) + (5)(4) + (-4)(5) = 5 + 20 - 20 = 5
Elemento (2,2):
(-5)(1) + (5)(-3) + (-4)(-4) = -5 - 15 + 16 = -4
Elemento (2,3):
A^2 = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):
Assim, temos:
Passo 4
Perceba que . Isso confirma que a matriz é idempotente, já que ao multiplicá-la por ela mesma, o resultado foi a própria matriz.
Passo 5
Agora, vamos calcular A^3 = A times A^2 = A times A = A^2 = A . Sabemos que A^4 = A times A^3 = A times A = A^2 = A . Portanto:
A^n = A para todo n >= 1
Da mesma forma, para :
E assim por diante até :
Resposta
A matriz é idempotente, ou seja, . Além disso, para todas as potências superiores, temos .