Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se o conjunto de funções é linearmente dependente no intervalo . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente ao conceito de dependência linear. Para resolver, vamos verificar se existe uma combinação não trivial dessas funções que resulte na função zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dependência linear. Um conjunto de funções é linearmente dependente se pelo menos uma delas puder ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, existem constantes , e , não todas zero, tais que:
Queremos encontrar esses coeficientes , e .

Passo 3

Vamos expandir a expressão:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 5

Essa equação precisa ser igual a zero para todo valor de . Para isso, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:

Passo 7

Encontramos que há múltiplas soluções para , e , dependendo do valor escolhido para . Por exemplo, se escolhermos , então:
Isso mostra que existe uma combinação não trivial (com ) que satisfaz a equação.

Resposta

O conjunto de funções é linearmente dependente em .

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Explique se o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial abaixo:
.
Resolva as seguintes equações diferenciais
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