Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar montar e resolver a equação característica, que nos ajudará a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A forma geral desse tipo de equação é:
onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, montamos a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos
por
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Isso nos dá:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A fórmula de Bhaskara é:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante
, temos duas raízes reais e iguais. Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes.
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