Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar montar e resolver a equação característica, que nos ajudará a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A forma geral desse tipo de equação é:
onde e são constantes. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, montamos a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos por , onde é uma constante que precisamos encontrar. Isso nos dá:
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

Como o discriminante , temos duas raízes reais e iguais. Isso significa que a solução geral da equação diferencial será da forma:
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes.

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