Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar utilizar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO. Para a equação
, a característica é:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, temos:
Para encontrar as raízes dessa equação, usamos números complexos. Podemos expressar
na forma polar:
onde
é a unidade imaginária.
Passo 4
As raízes da equação
são dadas por:
Calculando para cada valor de
:
Essas raízes são complexas e conjugadas.
Passo 5
Utilizando as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são complexas, a solução envolve funções seno e cosseno:
Simplificando, já que
:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Renomeando as constantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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