Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar utilizar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à EDO. Para a equação , a característica é:
Isso significa que precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Resolvendo a equação característica , temos:
Para encontrar as raízes dessa equação, usamos números complexos. Podemos expressar na forma polar:
onde é a unidade imaginária.

Passo 4

As raízes da equação são dadas por:
Calculando para cada valor de :
Essas raízes são complexas e conjugadas.

Passo 5

Utilizando as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são complexas, a solução envolve funções seno e cosseno:
Simplificando, já que :
Podemos combinar os termos semelhantes:
Renomeando as constantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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