Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de funções.
Passo 2
Dependência linear significa que uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra. Para verificar isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Queremos saber se existe alguma combinação não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos coeficientes
ou
não é zero) que satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos tentar resolver a equação acima. Para que a equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes devem ser tais que:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Observamos que, para que a igualdade seja válida para qualquer valor de
, a única possibilidade é que
, já que
e, portanto,
não é constante.
Passo 4
Como a única solução para a combinação linear ser zero para todo
é
, isso significa que as funções são linearmente independentes. Não existe uma combinação não trivial que satisfaça a equação.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
quando
.
Exercícios relacionados
Explique se o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial abaixo:
.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da funçio em relaçāo a cada variável.
Fórmula do tamanho do lote de Wilson (Volume I, Seçäo 4.5, Exercício 45)
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Resolva as seguintes equações diferenciais