Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto de funções é linearmente dependente ou independente no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de funções.

Passo 2

Dependência linear significa que uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra. Para verificar isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Queremos saber se existe alguma combinação não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos coeficientes ou não é zero) que satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos tentar resolver a equação acima. Para que a equação seja verdadeira para todo , os coeficientes devem ser tais que:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Observamos que, para que a igualdade seja válida para qualquer valor de , a única possibilidade é que , já que e, portanto, não é constante.

Passo 4

Como a única solução para a combinação linear ser zero para todo é , isso significa que as funções são linearmente independentes. Não existe uma combinação não trivial que satisfaça a equação.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em quando .

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.
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