Explique se o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos uma equação diferencial
com condição inicial
. Vamos analisar se o Teorema de Existência e Unicidade se aplica a esse problema. Para isso, precisamos entender os critérios do teorema e verificar se a função que define a equação diferencial atende às condições necessárias.
Passo 2
O Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf, nos diz que para a equação diferencial na forma
, se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial
, então existe uma solução única que passa por esse ponto.
Passo 3
Vamos reescrever a equação diferencial dada na forma padrão
. A equação original é
, o que podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos que
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial
.
Calculando a derivada parcial:
Passo 5
Analisando as funções:
-
é contínua para todo . -
também é contínua para todo .
Como o ponto inicial é
e
, ambos
e
são contínuos em um intervalo ao redor de
.
Resposta
Sim, o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial dado.
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, encontre a derivada parcial da funçio em relaçāo a cada variável.
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