Explique se o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial abaixo:
y' - 2/x y = 0, y(1) = 3.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos uma equação diferencial com condição inicial . Vamos analisar se o Teorema de Existência e Unicidade se aplica a esse problema. Para isso, precisamos entender os critérios do teorema e verificar se a função que define a equação diferencial atende às condições necessárias.

Passo 2

O Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf, nos diz que para a equação diferencial na forma , se a função f(x, y) e sua derivada parcial em relação a y, , são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial , então existe uma solução única que passa por esse ponto.

Passo 3

Vamos reescrever a equação diferencial dada na forma padrão . A equação original é , o que podemos reorganizar para:
Aqui, identificamos que .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se f(x, y) e sua derivada parcial em relação a y, , são contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial .
Calculando a derivada parcial:

Passo 5

Analisando as funções:
  • é contínua para todo x != 0.
  • também é contínua para todo x != 0.
Como o ponto inicial é e , ambos f e são contínuos em um intervalo ao redor de x = 1.

Resposta

Sim, o Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao problema de valor inicial dado.

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