Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se o conjunto de funções é linearmente dependente no intervalo de a . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear entre funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma combinação linear dessas funções igual a zero e ver se só a solução trivial (todos os coeficientes iguais a zero) existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear ser igual a zero. A gente quer encontrar constantes tais que:
Isso precisa ser válido para todo valor de . Vamos expandir essa expressão:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que têm e os constantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais a zero separadamente. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é (solução trivial) ou se existem outras soluções (não triviais).
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Isso significa que, para qualquer valor de , podemos encontrar e que satisfazem o sistema. Então, existe uma infinidade de soluções não triviais.

Resposta

Como existem soluções não triviais para o sistema, o conjunto de funções é linearmente dependente em .

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