Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem: , e precisamos encontrar a solução geral usando o método da variação dos parâmetros. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método específico que o enunciado pediu.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Isso vai nos dar a solução complementar, que é parte da solução geral.

Passo 3

Integrando uma vez, obtemos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Integrando pela terceira vez:
Agora temos a solução geral da equação homogênea .

Passo 6

Como a equação original é , que é não homogênea, vamos procurar uma solução particular. No método da variação dos parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de .

Passo 7

Mas, nesse caso específico, a equação é simples e uma solução particular pode ser encontrada diretamente. Integrando três vezes:
Primeira integração:
Segunda integração:
Terceira integração:

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Determine se o conjunto é linearmente dependente em . Depois, calcule em . Os resultados obtidos contradizem o teorema do Wronskiano?
Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em