Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem: , e precisamos encontrar a solução geral usando o método da variação dos parâmetros. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e o método específico que o enunciado pediu.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Isso vai nos dar a solução complementar, que é parte da solução geral.
Passo 3
Integrando uma vez, obtemos:
Onde é uma constante de integração.
Passo 4
Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração.
Passo 5
Integrando pela terceira vez:
Agora temos a solução geral da equação homogênea .
Passo 6
Como a equação original é , que é não homogênea, vamos procurar uma solução particular. No método da variação dos parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de .
Passo 7
Mas, nesse caso específico, a equação é simples e uma solução particular pode ser encontrada diretamente. Integrando três vezes:
Primeira integração:
Segunda integração:
Terceira integração:
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação diferencial é: