Determine se o conjunto é linearmente dependente em . Depois, calcule em . Os resultados obtidos contradizem o teorema do Wronskiano?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se o conjunto formado por e é linearmente dependente no intervalo . Depois, queremos calcular o Wronskiano dessas funções nesse mesmo intervalo e ver se os resultados têm alguma contradição com o Teorema do Wronskiano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dependência linear de funções e entender o que é o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente dependentes. Duas funções e são linearmente dependentes em um intervalo se existe uma combinação linear não trivial delas que dá zero nesse intervalo. Ou seja, existem constantes e , não ambas zero, tais que para todo no intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto . Observando as funções:
é uma função ímpar, ou seja, .
é uma função par, porque a função valor absoluto transforma qualquer em positivo.
Vamos tentar encontrar constantes e , não ambas zero, tais que para todo em .
Passo 4
Vamos analisar a equação .
Para , temos , então a equação fica: .
Como não é zero para , devemos ter .
Para , temos , então a equação fica: .
Novamente, como não é zero para , devemos ter .
Passo 5
Temos então o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações: →
Substituindo em : →
Só temos a solução trivial , o que significa que as funções são linearmente independentes no intervalo .
Passo 6
Agora, vamos calcular o Wronskiano das funções e no intervalo .
O Wronskiano é definido como:
Vamos calcular as derivadas:
→
→
Então:
Simplificando:
Portanto, o Wronskiano é zero em todo o intervalo .
Passo 7
Agora, lembrando do Teorema do Wronskiano: se as funções são linearmente independentes em um intervalo, então seu Wronskiano não pode ser zero em todo esse intervalo.
No nosso caso, descobrimos que as funções e são linearmente independentes, mas o Wronskiano é zero em todo o intervalo . Isso parece uma contradição.
Resposta
Não, os resultados não contradizem o Teorema do Wronskiano. O Teorema do Wronskiano garante que se o Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes. Porém, se o Wronskiano for zero em todo o intervalo, isso não implica necessariamente que as funções sejam linearmente dependentes. No nosso caso, apesar do Wronskiano ser zero em todo o intervalo , as funções e são de fato linearmente independentes.