Determine o polinômio de Taylor de ordem , no ponto dado, das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função nos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a quinta ordem e avaliar elas nos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de um ponto :
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função . A primeira derivada é:
Percebemos que cada derivada subsequente traz um fator de . Então, podemos generalizar que:

Passo 4

Agora, precisamos avaliar essas derivadas nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 5

Vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 5 para cada ponto .
Para :
Para :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para é:
  • Em torno de :
  • Em torno de :

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