Determine o polinômio de Taylor de ordem
, no ponto
dado, das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a quinta ordem e avaliar elas nos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de um ponto
:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função
. A primeira derivada é:
Percebemos que cada derivada subsequente traz um fator de
. Então, podemos generalizar que:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar essas derivadas nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 5 para cada ponto
.
Para
:
Para
:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 5 para
é:
- Em torno de
:
- Em torno de
:
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Calcule a integral indefinida da função
.
Calcule a integral indefinida da função
.