Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
y'' - 2y' + y = 4 cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que envolve derivadas de . O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Para isso, vamos achar a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
(com multiplicidade 2)
Isso significa que as soluções para a equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
onde e são constantes que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando os termos:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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