Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que envolve derivadas de
. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Para isso, vamos achar a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Isso significa que as soluções para a equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica (
), vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.