Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de (conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um conjunto de matrizes 2x2 onde o elemento da primeira linha e primeira coluna, aquele , é igual a zero. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar algumas propriedades básicas dos subespaços vetoriais, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se esse conjunto contém a matriz zero. A matriz zero é aquela em que todos os elementos são iguais a zero:
Como nessa matriz, ela pertence ao nosso conjunto. Isso é bom, porque um subespaço sempre precisa conter o vetor (ou matriz) zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer desse conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos chamar duas matrizes do conjunto de e :
Somando , temos:
$$
A + B =
$$
Vemos que o elemento da matriz resultante também é zero. Então, está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos uma matriz qualquer do conjunto e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto. Seja um escalar real e uma matriz do conjunto:
Multiplicando por , temos:
$$
cA =
$$
Novamente, o elemento permanece zero após a multiplicação. Logo, também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto de todas as matrizes com contém a matriz zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de .