Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de M2(R) (conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 tais que a11=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um conjunto de matrizes 2x2 onde o elemento da primeira linha e primeira coluna, aquele a11, é igual a zero. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de M2(R), que é o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 com números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar algumas propriedades básicas dos subespaços vetoriais, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esse conjunto contém a matriz zero. A matriz zero é aquela em que todos os elementos são iguais a zero:
0 & 0 0 & 0
Como a11 = 0 nessa matriz, ela pertence ao nosso conjunto. Isso é bom, porque um subespaço sempre precisa conter o vetor (ou matriz) zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer desse conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos chamar duas matrizes do conjunto de A e B:
A = 0 & a12 a21 & a22 , B = 0 & b12 b21 & b22
Somando A + B, temos:
$$
A + B =
A + B = 0 + 0 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22 = 0 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22

a11
$$
Vemos que o elemento A + B da matriz resultante também é zero. Então, está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos uma matriz qualquer do conjunto e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto. Seja c um escalar real e A uma matriz do conjunto:
A = 0 & a12 a21 & a22
Multiplicando por c, temos:
$$
cA =
cA = c cdot 0 & c cdot a12 c cdot a21 & c cdot a22 = 0 & c cdot a12 c cdot a21 & c cdot a22

a11
$$
Novamente, o elemento cA permanece zero após a multiplicação. Logo, também está no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com a11=0 contém a matriz zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de M2(R).

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