Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^3.
(x, x, 0) mid x in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão de Álgebra Linear! O enunciado pede para determinar se o conjunto (x, x, 0) mid x in R é ou não um subespaço vetorial de R^3. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor 0 = (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto (x, x, 0) mid x in R.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Para verificar se o vetor zero está no conjunto, basta substituir x = 0 na expressão (x, x, 0):
(0, 0, 0)
Então, o vetor zero está no conjunto. Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
u = (x1, x1, 0)
v = (x2, x2, 0)
Agora, somamos esses dois vetores:
u + v = (x1 + x2, x1 + x2, 0 + 0) = (x1 + x2, x1 + x2, 0)
Observamos que o resultado também está na forma (x, x, 0), onde x = x1 + x2 in R. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto e multiplicá-lo por um escalar c in R:
c cdot u = c cdot (x, x, 0) = (c x, c x, c cdot 0) = (c x, c x, 0)
Esse resultado também está na forma (x, x, 0), onde x = c x in R. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto (x, x, 0) mid x in R contém o vetor zero, é fechado sob a adição de vetores e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de R^3.

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(x, y) in R^2 mid x=3 y+1
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O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 tais que a11=0.
Em R^4, calcule:
ii. -2(1,2,1,2)
Em P3, sejam p(x)=x^3-x^2+2 x+1 e q(x)=x^2-x+5 calcule:
i. p(x)+q(x)