Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão de Álgebra Linear! O enunciado pede para determinar se o conjunto
é ou não um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Para verificar se o vetor zero está no conjunto, basta substituir
na expressão
:
Então, o vetor zero está no conjunto. Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
Agora, somamos esses dois vetores:
Observamos que o resultado também está na forma
, onde
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto e multiplicá-lo por um escalar
:
Esse resultado também está na forma
, onde
. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob a adição de vetores e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de
.
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.
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(conjunto das matrizes 2 por 2 ).
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.
O conjunto de todas as matrizes
ii.
i.