Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^2.
(x, y) in R^2 mid x=3 y+1

Passo 1

Vamos analisar o seguinte conjunto: (x, y) in R^2 mid x=3 y+1. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero (0,0) está no conjunto. Substituindo y = 0 na equação x = 3y + 1, temos:
x = 3(0) + 1 = 1
Então, o ponto seria (1,0), e não (0,0). Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas vamos verificar as outras condições para entender melhor.

Passo 3

Mesmo já sabendo que o vetor zero não está no conjunto, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores no conjunto: (x1, y1) e (x2, y2), onde x1 = 3y1 + 1 e x2 = 3y2 + 1. Somando esses vetores:
(x1 + x2, y1 + y2) = ((3y1 + 1) + (3y2 + 1), y1 + y2) = (3(y1 + y2) + 2, y1 + y2)
Para que essa soma esteja no conjunto, precisaríamos que:
3(y1 + y2) + 2 = 3(y1 + y2) + 1
O que não é verdade, já que 2 neq 1. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Seja c um escalar qualquer e (x, y) in R^2 com x = 3y + 1. Multiplicando por c:
(cx, cy) = (c(3y + 1), cy) = (3(cy) + c, cy)
Para que (cx, cy) esteja no conjunto, precisaríamos que:
3(cy) + c = 3(cy) + 1
Isso implica que c = 1. Como isso só é verdadeiro para c = 1, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar geral.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de R^2.

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