Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos analisar o seguinte conjunto:
. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero
está no conjunto. Substituindo
na equação
, temos:
Então, o ponto seria
, e não
. Como o vetor zero não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas vamos verificar as outras condições para entender melhor.
Passo 3
Mesmo já sabendo que o vetor zero não está no conjunto, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores no conjunto:
e
, onde
e
. Somando esses vetores:
Para que essa soma esteja no conjunto, precisaríamos que:
O que não é verdade, já que
. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
com
. Multiplicando por
:
Para que
esteja no conjunto, precisaríamos que:
Isso implica que
. Como isso só é verdadeiro para
, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar geral.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de
.
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Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
(conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes tais que
.
O conjunto de todas as matrizes
Seja
o espaço vetorial das funções reais. Sejam
e
. Calcule
ii.
ii.
Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
ii.