Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
(conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
.
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2x2 é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 com números reais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto contém a matriz zero. A matriz zero em
é aquela onde todos os elementos são zero:
Essa matriz é definitivamente triangular inferior, já que todos os elementos acima da diagonal principal também são zero. Então, o conjunto contém o vetor zero. Passo 1 validado!
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes triangulares inferiores qualquer e somarmos elas, o resultado também deve ser uma matriz triangular inferior.
Vamos considerar duas matrizes triangulares inferiores:
A soma delas será:
Claramente, a matriz resultante também é triangular inferior, porque o elemento acima da diagonal continua sendo zero. Então, o conjunto é fechado sob adição. Passo 2 validado!
Passo 4
Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz triangular inferior por qualquer número real, o resultado deve continuar sendo triangular inferior.
Pegamos uma matriz triangular inferior qualquer:
Multiplicando por um escalar
:
A matriz resultante ainda tem zero acima da diagonal, então ela continua sendo triangular inferior. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Passo 3 validado!
Resposta
Sim, o conjunto das matrizes triangulares inferiores
é um subespaço vetorial de
.