Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de M2(R) (conjunto das matrizes 2 por 2 ).
O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2x2 é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes 2 por 2 com números reais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos checar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto contém a matriz zero. A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é aquela onde todos os elementos são zero:
Essa matriz é definitivamente triangular inferior, já que todos os elementos acima da diagonal principal também são zero. Então, o conjunto contém o vetor zero. Passo 1 validado!

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes triangulares inferiores qualquer e somarmos elas, o resultado também deve ser uma matriz triangular inferior.
Vamos considerar duas matrizes triangulares inferiores:
A = a & 0 b & c e B = d & 0 e & f
A soma delas será:
A + B = a + d & 0 + 0 b + e & c + f = a + d & 0 b + e & c + f
Claramente, a matriz resultante também é triangular inferior, porque o elemento acima da diagonal continua sendo zero. Então, o conjunto é fechado sob adição. Passo 2 validado!

Passo 4

Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz triangular inferior por qualquer número real, o resultado deve continuar sendo triangular inferior.
Pegamos uma matriz triangular inferior qualquer:
A = a & 0 b & c
Multiplicando por um escalar kA = k cdot a & k cdot 0 k cdot b & k cdot c = ka & 0 kb & kc :
A matriz resultante ainda tem zero acima da diagonal, então ela continua sendo triangular inferior. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Passo 3 validado!

Resposta

Sim, o conjunto das matrizes triangulares inferiores é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados