Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam das retas e . Descreva o lugar geométrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação que representa todos os pontos no espaço que estão à mesma distância das retas e . Nosso foco aqui está na geometria analítica, especificamente em calcular distâncias no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as retas e :
A reta é dada por:
Isso significa que é uma reta que passa pela origem e vai na direção do eixo .
A reta é dada por:
Isso significa que é uma reta que passa pelo ponto e vai na direção do eixo .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço. A fórmula para a distância de a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para ambas as retas e :
Para a reta :
Ponto
Vetor diretor
Vetor
Produto vetorial
Magnitude do produto vetorial:
Magnitude de :
Distância:
Para a reta :
Ponto
Vetor diretor
Vetor
Produto vetorial
Magnitude do produto vetorial:
Magnitude de :
Distância:
Passo 5
Agora, queremos que os pontos raizy^2 + z^2 = raizx^2 + (y - 1)^2 estejam à mesma distância das retas y^2 + z^2 = x^2 + (y - 1)^2 e . Então, igualamos e :
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Expandindo y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 :
z^2 = x^2 - 2y + 1
Agora, simplificando ambos os lados:
Subtraia de ambos os lados:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para ficar mais clara:
x^2 - 2y + 1 - z^2 = 0
Ou, de forma equivalente:
x^2 - z^2 - 2y + 1 = 0
Passo 8
Agora, para descrever o lugar geométrico, podemos reescrever a equação de uma forma mais reconhecível:
x^2 - z^2 = 2y - 1
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície quádrupla no espaço tridimensional. Portanto, o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância das retas e é um hiperboloide de uma folha definido pela equação acima.
Resposta
A equação do lugar geométrico é e o lugar geométrico é um hiperboloide de uma folha.