Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam das retas r: X= (0,0,0)+lambda(1,0,0)(lambda in R) e s: X=(0,1,0)+mu(0,0,1)(mu in R). Descreva o lugar geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação que representa todos os pontos no espaço que estão à mesma distância das retas e . Nosso foco aqui está na geometria analítica, especificamente em calcular distâncias no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as retas X = (0,0,0) + lambda(1,0,0) com lambda in R e X = (0,1,0) + mu(0,0,1) com mu in R :
  • A reta é dada por:
    Isso significa que é uma reta que passa pela origem e vai na direção do eixo .
  • A reta é dada por:
    Isso significa que é uma reta que passa pelo ponto e vai na direção do eixo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto d = ||AP times u||||u|| a uma reta no espaço. A fórmula para a distância de a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para ambas as retas i & j & k x & y & z 1 & 0 & 0 e i & j & k x & y - 1 & z 0 & 0 & 1 :
  1. Para a reta :
    • Ponto
    • Vetor diretor
    • Vetor
    • Produto vetorial
    • Magnitude do produto vetorial:
    • Magnitude de :
    • Distância:
  2. Para a reta :
    • Ponto
    • Vetor diretor
    • Vetor
    • Produto vetorial
    • Magnitude do produto vetorial:
    • Magnitude de :
    • Distância:

Passo 5

Agora, queremos que os pontos raizy^2 + z^2 = raizx^2 + (y - 1)^2 estejam à mesma distância das retas y^2 + z^2 = x^2 + (y - 1)^2 e . Então, igualamos e :
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Expandindo y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 :
z^2 = x^2 - 2y + 1
Agora, simplificando ambos os lados:
  • Subtraia de ambos os lados:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para ficar mais clara:
x^2 - 2y + 1 - z^2 = 0
Ou, de forma equivalente:
x^2 - z^2 - 2y + 1 = 0

Passo 8

Agora, para descrever o lugar geométrico, podemos reescrever a equação de uma forma mais reconhecível:
x^2 - z^2 = 2y - 1
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície quádrupla no espaço tridimensional. Portanto, o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância das retas e é um hiperboloide de uma folha definido pela equação acima.

Resposta

A equação do lugar geométrico é e o lugar geométrico é um hiperboloide de uma folha.

Exercícios relacionados