Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^3.
(x, y, z) in R^3 mid x=y=z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x=y=z é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço, ele precisa:
  1. Contemplar o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Se colocarmos x = y = z = 0, fica claro que (0, 0, 0) pertence ao conjunto, já que 0 = 0 = 0.
Conclusão: O conjunto contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores no conjunto, digamos (a, a, a) e (b, b, b). Somando esses vetores:
(a, a, a) + (b, b, b) = (a + b, a + b, a + b)
Note que a + b = a + b = a + b, então o vetor resultante também pertence ao conjunto.
Conclusão: O conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor (a, a, a) no conjunto e um escalar k in R. Multiplicando o vetor pelo escalar:
k cdot (a, a, a) = (k cdot a, k cdot a, k cdot a)
Aqui, k cdot a = k cdot a = k cdot a, então o vetor resultante também está no conjunto.
Conclusão: O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x=y=z é um subespaço vetorial de R^3.

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