Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço, ele precisa:
- Contemplar o vetor zero.
- Ser fechado sob adição.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Se colocarmos
, fica claro que
pertence ao conjunto, já que
.
Conclusão: O conjunto contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores no conjunto, digamos
e
. Somando esses vetores:
Note que
, então o vetor resultante também pertence ao conjunto.
Conclusão: O conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor
no conjunto e um escalar
. Multiplicando o vetor pelo escalar:
Aqui,
, então o vetor resultante também está no conjunto.
Conclusão: O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.