Mostre que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, ele satisfaz que, para quaisquer e qualquer entre e ( ), então também está em . Vamos precisar entender o que é um intervalo e como essa condição caracteriza os intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo na reta real. Um intervalo é um conjunto de números reais onde, se você pegar qualquer dois números nesse conjunto, todos os números que estão entre eles também pertencem ao conjunto. Por exemplo, o intervalo inclui todos os números entre 1 e 3.

Passo 3

Vamos agora provar a primeira parte: se é um intervalo, então ele satisfaz a condição dada.
Imaginemos que é um intervalo. Se pegarmos dois elementos e em com , qualquer número que esteja entre e também deve estar em , justamente porque é um intervalo e não deixa “lacunas” entre seus elementos.

Passo 4

Agora, vamos provar o contrário: se satisfaz a condição dada, então ele é um intervalo.
Suponha que para quaisquer e qualquer com , temos . Isso significa que não existem “lacunas” no conjunto ; ou seja, entre qualquer dois pontos de , todos os pontos intermediários também estão em .

Passo 5

Esse comportamento de não ter lacunas é exatamente a definição de um intervalo na reta real. Portanto, se satisfaz a condição de que entre quaisquer dois pontos ele contém todos os pontos intermediários, então deve ser um intervalo.

Resposta

Assim, mostramos que um conjunto não-vazio é um intervalo se, e somente se, para quaisquer e qualquer com , então .

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