Mostre que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, satisfaz a seguinte condição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, ele satisfaz que, para quaisquer
e qualquer
entre
e
(
), então
também está em
. Vamos precisar entender o que é um intervalo e como essa condição caracteriza os intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo na reta real. Um intervalo é um conjunto de números reais onde, se você pegar qualquer dois números nesse conjunto, todos os números que estão entre eles também pertencem ao conjunto. Por exemplo, o intervalo
inclui todos os números entre 1 e 3.
Passo 3
Vamos agora provar a primeira parte: se
é um intervalo, então ele satisfaz a condição dada.
Imaginemos que
é um intervalo. Se pegarmos dois elementos
e
em
com
, qualquer número
que esteja entre
e
também deve estar em
, justamente porque
é um intervalo e não deixa “lacunas” entre seus elementos.
Passo 4
Agora, vamos provar o contrário: se
satisfaz a condição dada, então ele é um intervalo.
Suponha que para quaisquer
e qualquer
com
, temos
. Isso significa que não existem “lacunas” no conjunto
; ou seja, entre qualquer dois pontos de
, todos os pontos intermediários também estão em
.
Passo 5
Esse comportamento de não ter lacunas é exatamente a definição de um intervalo na reta real. Portanto, se
satisfaz a condição de que entre quaisquer dois pontos ele contém todos os pontos intermediários, então
deve ser um intervalo.
Resposta
Assim, mostramos que um conjunto não-vazio
é um intervalo se, e somente se, para quaisquer
e qualquer
com
, então
.
Exercícios relacionados
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que uma função
é contínua em
, se, e somente se, toda sequência de pontos
, com
, se tenha
.
Se
é aberto e a
, mostre que
é um conjunto aberto.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Determine para quais valores de
e
, a equação
é exata.