Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). (2 t + 4 y) + (2 t - 2 y) y' = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aí: (2 t + 4 y) + (2 t - 2 y) y' = 0. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução dela de forma implícita. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas, que são aquelas em que podemos encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata: . Olhando para a nossa equação:
Podemos identificar:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a t. Se forem iguais, a equação é exata. Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos comparar as derivadas que calculamos:
Como , as derivadas não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação (2 t + 4 y) + (2 t - 2 y) y' = 0 não é exata.

Exercícios relacionados