Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aí: . Nosso objetivo é descobrir se essa equação é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução dela de forma implícita. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas, que são aquelas em que podemos encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata: . Olhando para a nossa equação:
Podemos identificar:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se forem iguais, a equação é exata. Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos comparar as derivadas que calculamos:
Como , as derivadas não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) , onde é uma função contínua em toda reta;
Mostre que a equação não é separável, mas se fizermos a mudança de variável , a nova equação, nas variáveis e , é separável. Encontre as soluções da equação original.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .