Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aí:
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução dela de forma implícita. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas, que são aquelas em que podemos encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
. Olhando para a nossa equação:
Podemos identificar:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se forem iguais, a equação é exata. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos comparar as derivadas que calculamos:
Como
, as derivadas não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.
Resposta
A equação
não é exata.
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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;
Mostre que a equação
não é separável, mas se fizermos a mudança de variável
, a nova equação, nas variáveis
e
, é separável. Encontre as soluções da equação original.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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